Question

選修4-5：不等式選講
已知函數(shù)f（x）=|x-2a|+|x-a|，a∈R，a≠0．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，解不等式：f（x）＞2；
（2）若b∈R且b≠0，證明：f（b）≥f（a），并求在等號(hào)成立時(shí)

b

a

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)閍=1，所以原不等式為|x-2|+|x-1|＞2，分類(lèi)討論求得原不等式的解集．
（2）由題意可得f（a）=|a|，f（b）=|b-2a|+|b-a|=|2a-b|+|b-a|，利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)證得f（b）≥f（a），根據(jù)等號(hào)成立條件，從而（2a-b）（b-a）≥0．即3ab-2a²-b²≥0，從而求得

b

a

的取值范圍．

解答：解：（1）因?yàn)閍=1，所以原不等式為|x-2|+|x-1|＞2．
當(dāng)x≤1時(shí)，原不等式化簡(jiǎn)為1-2x＞0，即x＜

1

2

； 
當(dāng)1＜x≤2時(shí)，原不等式化簡(jiǎn)為1＞2，即x∈∅；
當(dāng)x＞2時(shí)，原不等式化簡(jiǎn)為2x-3＞2，即x＞

5

2

．
綜上，原不等式的解集為{x|x＜

1

2

或x＞

5

2

}．
（2）由題意可得f（a）=|a|，f（b）=|b-2a|+|b-a|=|2a-b|+|b-a|≥|2a-b+b-a|=|a|，
所以f（b）≥f（a），
又等號(hào)成立，當(dāng)且僅當(dāng)2a-b與b-a同號(hào)，或它們至少有一個(gè)為零，
從而（2a-b）（b-a）≥0．即3ab-2a²-b²≥0，
即(

b

a

)2-

3b

a

+2≤0，從而求得 1≤

b

a

≤2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查分式不等式的解法，不等式的性質(zhì)，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化和分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．