Question

【題目】如圖，已知圓經(jīng)過(guò)橢圓的左右焦點(diǎn)，與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為，且， ， 三點(diǎn)共線.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)與直線（為原點(diǎn)）平行的直線交橢圓于兩點(diǎn)，當(dāng)的面積取取最大值時(shí)，求直線的方程.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) .

【解析】試題分析：（1）由題意把焦點(diǎn)坐標(biāo)代入圓的方程求出 ，再由條件得為圓的直徑，且，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)橢圓的定義和依次求出的值，代入橢圓方程即可；

（2）由（1）求出的坐標(biāo)，根據(jù)向量共線的條件求出直線的斜率，設(shè)直線的方程和的坐標(biāo)，聯(lián)立直線方程和橢圓方程消去，利用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式求出，由點(diǎn)到直線的距離公式求出點(diǎn)到直線的距離，代入三角形的面積公式求出，化簡(jiǎn)后求最值即可.

試題解析：(1)∵， ， 三點(diǎn)共線，∴為圓的直徑，且，

∴.由，得，∴，∵， ∴， ∴， .

∵，∴，∴橢圓的方程為. (2)由（1）知，點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴直線的斜率為，故設(shè)直線的方程為，將方程代入消去得： ， 設(shè) ∴， ， ，∴， 又：

=，∵點(diǎn)到直線的距離， ∴ ，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)直線的方程為.