Question

已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，；又若是各項為正數(shù)的等比數(shù)列，且滿足，其前項和為，.
(1)分別求數(shù)列，的通項公式，；
(2)設(shè)數(shù)列的前項和為，求的表達式，并求的最小值.

Answer 1

(1) ， ；(2)，.

試題分析：(1)首先設(shè)出公差和公比，根據(jù)已知條件及等比數(shù)列和等差數(shù)列的性質(zhì)，列方程組解方程組，求得公差和公比，寫出各自的通項公式；(2)因為取偶數(shù)和奇數(shù)時，數(shù)列的項數(shù)會有變化，所以對分取偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況進行討論，根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的前項和公式，求出的表達式，根據(jù)前后兩項的變化確定的單調(diào)性，求得每種情況下的最小值，比較一下，取兩個最小值中的較小者.
試題解析：(1)設(shè)數(shù)列的公差是，的公比為，
由已知得，解得，所以；                 2分
又，解得或(舍去)，所以；                 .4分
(2)當(dāng)為偶數(shù)時，，
當(dāng)為奇數(shù)時.   .10分
當(dāng)為偶數(shù)時，，所以先減后增，
當(dāng)時，，所以；
當(dāng)時，，所以；
所以當(dāng)為偶數(shù)時，最小值是.                   12分
當(dāng)為奇數(shù)時，，所以先減后增，
當(dāng)時，，所以，
當(dāng)時，，所以，
所以當(dāng)為奇數(shù)時，最小值是.
比較一下這兩種情況下的的最小值，可知的最小值是.        .14分項和公式；2、數(shù)列與函數(shù)單調(diào)性的綜合應(yīng)用；3、數(shù)列與求函數(shù)最值的綜合運用；4、數(shù)列的函數(shù)特性.