Question

一個(gè)幾何體的三視圖如下圖所示，其中主視圖與左視圖是腰長(zhǎng)為6的等腰直角三角形，俯視圖是正方形。

（Ⅰ）請(qǐng)畫出該幾何體的直觀圖，并求出它的體積；
（Ⅱ）用多少個(gè)這樣的幾何體可以拼成一個(gè)棱長(zhǎng)為6的正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁? 如何組拼？試證明你的結(jié)論；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的情形下,設(shè)正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁的棱CC₁的中點(diǎn)為E, 求平面AB₁E與平面ABC所成二面角的余弦值.

Answer 1

（Ⅰ）體積是    
（Ⅱ）依題意，正方體的體積是原四棱錐體積的3倍，故用3個(gè)這樣的四棱錐可以拼成一個(gè)棱長(zhǎng)為6的正方體，
（Ⅲ）平面AB₁E與平面ABC所成二面角的余弦值=。

本題的構(gòu)圖方式是通過三視圖來給出，并且更為重視對(duì)空間幾何體的認(rèn)識(shí).
（Ⅰ）該幾何體的直觀圖如圖1所示，它是有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐. 其中底面ABCD是邊長(zhǎng)為6的正方形，高PD=6，故所求體積是    
（Ⅱ）依題意，正方體的體積是原四棱錐體積的3倍，故用3個(gè)這樣的四棱錐可以拼成一個(gè)棱長(zhǎng)為6的正方體，即由四棱錐D₁-ABCD，D₁-BB₁C₁C，D₁-BB₁A₁A組成。其拼法如圖2所示. （Ⅲ）因△AB₁E的邊長(zhǎng)AB₁=，B₁E=，AE=9，所以，而，所以平面AB₁E與平面ABC所成二面角的余弦值=。