【題目】已知函數(shù)有兩個零點.
(1)求的取值范圍;
(2)記的極值點為,求證:.
【答案】(1)(2)見解析
【解析】
(1)求導(dǎo)得,分類討論求出函數(shù)的單調(diào)性,從而可求出答案;
(2)由題意得,則,令函數(shù),則,利用導(dǎo)數(shù)可求得,從而可得,可得,要證,只需,令,即證,令,求導(dǎo)后得函數(shù)的單調(diào)性與最值,由此可證結(jié)論.
解:(1)因為,
當(dāng)時,,在單調(diào)遞增,至多只有一個零點,不符合題意,舍去;
當(dāng)時,若,則;若,則,
所以在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,
所以,
因為有兩個零點,所以必須,則,
所以,解得,
又因為時,; 時,,
所以當(dāng)時,在和各有一個零點,符合題意,
綜上,;
(2)由(1)知,且,
因為的兩個零點為,所以,所以,
解得,令所以,
令函數(shù),則,
當(dāng)時,;當(dāng)時,;
所以在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,
所以,所以,所以,
因為,又因為,所以,
所以,即,
要證,只需,
即證,即證,即證,
令,再令,即證,
令,則,
所以在單調(diào)遞增,所以,
所以,原題得證.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在極坐標系中,已知曲線:和曲線:,以極點為坐標原點,極軸為軸非負半軸建立平面直角坐標系.
(1)求曲線和曲線的直角坐標方程;
(2)若點是曲線上一動點,過點作線段的垂線交曲線于點,求線段長度的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】紅鈴蟲是棉花的主要害蟲之一,能對農(nóng)作物造成嚴重傷害,每只紅鈴蟲的平均產(chǎn)卵數(shù)y和平均溫度x有關(guān),現(xiàn)收集了以往某地的7組數(shù)據(jù),得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.(表中)
平均溫度 | 21 | 23 | 25 | 27 | 29 | 32 | 35 | ||
平均產(chǎn)卵數(shù)/個 | 7 | 11 | 21 | 24 | 66 | 115 | 325 | ||
27.429 | 81.286 | 3.612 | 40.182 | 147.714 | |||||
(1)根據(jù)散點圖判斷,與(其中自然對數(shù)的底數(shù))哪一個更適宜作為平均產(chǎn)卵數(shù)y關(guān)于平均溫度x的回歸方程類型?(給出判斷即可,不必說明理由)并由判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù),求出y關(guān)于x的回歸方程.(計算結(jié)果精確到小數(shù)點后第三位)
(2)根據(jù)以往統(tǒng)計,該地每年平均溫度達到28℃以上時紅鈴蟲會造成嚴重傷害,需要人工防治,其他情況均不需要人工防治記該地每年平均溫度達到28℃以上的概率為.
①記該地今后5年中,恰好需要3次人工防治的概率為,求的最大值,并求出相應(yīng)的概率p.
②當(dāng)取最大值時,記該地今后5年中,需要人工防治的次數(shù)為X,求X的數(shù)學(xué)期望和方差.
附:線性回歸方程系數(shù)公式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分13分)
如圖,已知拋物線,過點任作一直線與相交于兩點,過點作軸的平行線與直線相交于點(為坐標原點).
(1)證明:動點在定直線上;
(2)作的任意一條切線(不含軸)與直線相交于點,與(1)中的定直線相交于點,證明:為定值,并求此定值.
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【題目】如圖,在多面體ABCDEF中,底面ABCD是邊長為2的菱形,∠BAD=60°,四邊形BDEF是矩形,平面BDEF⊥平面ABCD,DE=2,M為線段BF上一點,且DM⊥平面ACE.
(1)求BM的長;
(2)求二面角A﹣DM﹣B的余弦值的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,圓,點,過的直線與圓交于點,過做直線平行交于點.
(1)求點的軌跡的方程;
(2)過的直線與交于、兩點,若線段的中點為,且,求四邊形面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓E:y2=1(m>1)的離心率為,過點P(1,0)的直線與橢圓E交于A,B不同的兩點,直線AA0垂直于直線x=4,垂足為A0.
(Ⅰ)求m的值;
(Ⅱ)求證:直線A0B恒過定點.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐S-ABCD中,四邊形ABCD菱形,,平面平面 ABCD, .E,F 分別是線段 SC,AB 上的一點, .
(1)求證:平面SAD;
(2)求平面DEF與平面SBC所成銳二面角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在四棱錐中,平面平面PCD,底面ABCD為梯形,,,M為PD的中點,過A,B,M的平面與PC交于N.,,,.
(1)求證:N為PC中點;
(2)求證:平面PCD;
(3)T為PB中點,求二面角的大小.
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