Question

已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的兩個焦點分別為F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），焦點到漸近線的距離為

2

．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）記O為坐標(biāo)原點，過點M（0，2）的直線l交雙曲線C于E、F兩點，若△EOF的面積為2

2

，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）利用點到直線的距離公式及a，b，c的關(guān)系即可得出；
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+2，E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂）．與雙曲線的方程聯(lián)立即可得到根與系數(shù)的關(guān)系，利用弦長公式和三角形的面積公式即可得出．

解答：解：（1）∵焦點F₂（2，0）到漸近線y=

b

a

x的距離為

2

，
∴

2b

a2+b2

=

2

，
∵c=2，∴b=

2

，
∴a²=c²-b²=2，
∴雙曲線C的方程為

x2

2

-

y2

2

=1；
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+2，E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂）．
聯(lián)立

y=kx+2 x2-y2=2

，化為（1-k²）x²-4kx-6=0，
由于k²≠1，∴x1+x2=

4k

1-k2

，x1x2=

-6

1-k2

，
S△OEF=

1

2

|OM|•|x1-x2|=|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=2

2

，
∴

( 4k 1-k2 )2- 4×(-6) 1-k2

=2

2

，
化為k⁴-k²-2=0．
解之得k²=2，即k=±

2

，經(jīng)檢驗符合題意．
故所求直線方程為y=

2

x+2或y=-

2

x+2．

點評：熟練掌握直線與雙曲線的相交問題轉(zhuǎn)化為雙曲線的方程聯(lián)立即可得到根與系數(shù)的關(guān)系、利用弦長公式和三角形的面積公式等是解題的關(guān)鍵．