【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)P是圓x2+y2=4上一動點(diǎn),PD⊥x軸于點(diǎn)D,記滿足 = ( + )的動點(diǎn)M的軌跡為Γ. (Ⅰ)求軌跡Γ的方程;
(Ⅱ)已知直線l:y=kx+m與軌跡F交于不同兩點(diǎn)A,B,點(diǎn)G是線段AB中點(diǎn),射線OG交軌跡Γ于點(diǎn)Q,且 =λ ,λ∈R.
①證明:λ2m2=4k2+1;
②求△AOB的面積S(λ)的解析式,并計算S(λ)的最大值.
【答案】解:(Ⅰ)設(shè)M(x,y),P(x0 , y0),則D(x0 , 0),且x02+y02=4,① ∵ = ( + ),
∴x0=x,y0=2y,②
②代入①可得x2+4y2=4;
(Ⅱ)①證明:設(shè)A(x1 , y1),B(x2 , y2),
由直線代入橢圓方程,消去y,得(1+4k2)x2+8kmx+4m2﹣4=0,
∴x1+x2= ,x1x2= (1)
∴y1+y2=k(x1+x2)+2m= ,
又由中點(diǎn)坐標(biāo)公式,得G( , ),
將Q( , )代入橢圓方程,化簡,得λ2m2=1+4k2 , (2).
②解:由(1),(2)得m≠0,λ>1且|x1﹣x2|= ,(3)
結(jié)合(2)、(3),得S△AOB= ,λ∈(1,+∞),
令 =t∈(0,+∞),則S= ≤ ≤1(當(dāng)且僅當(dāng)t=1即λ= 時取等號),
∴λ= 時,S取得最大值1
【解析】(Ⅰ)利用代入法求橢圓方程;(Ⅱ)設(shè)A(x1 , y1),B(x2 , y2),由直線代入橢圓方程,消去y,得(1+4k2)x2+8kmx+4m2﹣4=0,由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、中點(diǎn)坐標(biāo)公式,結(jié)合已知條件能證明結(jié)論.②由已知條件得m≠0,|x1﹣x2|= ,由此能求出△AOB的面積,再利用基本不等式求最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,平面PAD⊥平面ABCD,點(diǎn)M在線段PPD//平面MAC,PA=PD=,AB=4.
(I)求證:M為PB的中點(diǎn);
(II)求二面角B-PD-A的大。
(III)求直線MC與平面BDP所成角的正弦值.
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【題目】已知函數(shù)f(x)= x3+ax2﹣bx(a,b∈R),若y=f(x)圖象上的點(diǎn)(1,﹣ )處的切線斜率為﹣4,
(1)求f(x)的表達(dá)式.
(2)求y=f(x)在區(qū)間[﹣3,6]上的最值.
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【題目】定義在R上的函數(shù)f(x)滿足對任意x,y∈R恒有f(xy)=f(x)+f(y),且f(x)不恒為0,
(1)求f(1)和f(﹣1)的值;
(2)試判斷f(x)的奇偶性,并加以證明;
(3)若x≥0時f(x)為增函數(shù),求滿足不等式f(x+1)﹣f(2﹣x)≤0的x取值集合.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD是矩形,且AD=2,AB=1,PA⊥平面ABCD,E、F分別是線段AB、BC的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明:PF⊥FD;
(Ⅱ)判斷并說明PA上是否存在點(diǎn)G,使得EG∥平面PFD;
(Ⅲ)若PB與平面ABCD所成的角為45°,求二面角A﹣PD﹣F的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,點(diǎn)的極坐標(biāo)方程為.
(1)求點(diǎn)的直角坐標(biāo),并求曲線的普通方程;
(2)設(shè)直線與曲線的兩個交點(diǎn)為,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x,y恒有f(x+y)=f(x)+f(y),且當(dāng)x>0時,f(x)<0,又f(1)=﹣2.
(1)判斷f(x)的奇偶性及單調(diào)性并證明你的結(jié)論;
(2)若對任意x∈R,不等式f(ax2)﹣2f(x)<f(x)+4恒成立,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】袋子里有完全相同的3只紅球和4只黑球,今從袋子里隨機(jī)取球.
(Ⅰ)若有放回地取3次,每次取一個球,求取出2個紅球1個黑球的概率;
(Ⅱ)若無放回地取3次,每次取一個球,若取出每只紅球得2分,取出每只黑球得1分,求得分的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】學(xué)校將高二年級某班級50位同學(xué)期中考試數(shù)學(xué)成績(均為整數(shù))分為7組進(jìn)行統(tǒng)計,得到如圖所示的頻率分布直方圖.觀察圖中信息,回答下列問題.
(Ⅰ)試估計該班級同學(xué)數(shù)學(xué)成績的平均分;
(Ⅱ)先準(zhǔn)備從該班級數(shù)學(xué)成績不低于130分的同學(xué)中隨機(jī)選出2人參加某活動,求選出的兩人在同一組的概率.
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