Question

【題目】已知橢圓的兩焦點(diǎn)在軸上，且短軸的兩個(gè)頂點(diǎn)與其中一個(gè)焦點(diǎn)的連線構(gòu)成斜邊為的等腰直角三角形.

(1)求橢圓的方程；

(2)動(dòng)直線交橢圓于兩點(diǎn)，試問(wèn)：在坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使得以線段為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

【答案】（1）； （2）線段AB為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)Q(0,1).

【解析】

(1)根據(jù)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)頂點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形，以及斜邊長(zhǎng)為，可求出，進(jìn)而可求出橢圓方程；

(2)先由直線可得求過(guò)定點(diǎn)；根據(jù)與軸平行時(shí)或與軸平行時(shí)，先求出定點(diǎn)，再由證明即可.

(1)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)頂點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形，.

又斜邊長(zhǎng)為，即，故， ，

橢圓方程為.

(2)由題意可知該動(dòng)直線過(guò)定點(diǎn),

當(dāng)與軸平行時(shí)，以線段AB為直徑的圓的方程為；

當(dāng)與軸平行時(shí)，以線段AB為直徑的圓的方程為.

由 得，

故若存在定點(diǎn)，則的坐標(biāo)只可能為.

下面證明為所求：

若直線的斜率不存在，上述已經(jīng)證明.

若直線的斜率存在，設(shè)直線：，

，，

由 得，

， ，，

，，

=，

，即以線段AB為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn).