Question

已知橢圓的一個頂點為B（0，-1），焦點在x軸上，若右焦點F到直線x-y+2

2

=0的距離為3．  
（1）求橢圓的方程；
（2）設直線l與橢圓相交于不同的兩點M、N，直線l的斜率為k（k≠0），當|BM|=|BN|時，求直線l縱截距的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由橢圓的一個頂點為B（0，-1），知b=1，由焦點在x軸上，右焦點F到直線x-y+2

2

=0的距離為3，解得c=

2

．由此能求出橢圓方程．  
（2）設P為弦MN的中點，由

y=kx+m x2 3 +y2=1

，得（3k²+1）x²+6kmx+3（m²-1）=0．利用根的判別式和韋達定理，結合題設能求出m的取值范圍．

解答：解：（1）∵橢圓的一個頂點為B（0，-1），
∴b=1，
∵焦點在x軸上，∴設右焦點F（c，0），c＞0
∵右焦點F到直線x-y+2

2

=0的距離為3，
∴3=

|c+2 2 |

2

，解得c=

2

．
∴a²=b²+c²=1+2=3，
∴橢圓方程為

x2

3

+y2=1．
（2）設P為弦MN的中點，
由

y=kx+m x2 3 +y2=1

得（3k²+1）x²+6kmx+3（m²-1）=0．
由△＞0，得m²＜3k²+1  ①，
∴x_P=

xM+xN

2

=-

3mk

3k2+1

，
從而y_P=kx_p+m=

m

3k2+1

．
∴k_BP=-

m+3k2+1

3km

．
由MN⊥BP，得-

m+3k2+1

3km

=-

1

k

，
即2m=3k²+1②．
將②代入①，得2m＞m²，
解得0＜m＜2．由②得k²=

2m-1

3

＞0．
解得m＞

1

2

．故所求m的取值范圍為（

1

2

，2）．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查直線的截距的取值范圍的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．