Question

設F₁、F₂分別為橢圓C： =1（a＞b＞0）的左、右兩個焦 點。（1）若橢圓C上的點A（1，）到F₁、F₂兩點的 距離之和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點坐標；

（2）設點K是（1）中所得橢圓上的動點，求線段F₁K的中點的軌跡方程.

 

Answer 1

【答案】

（1）橢圓C的方程為=1，焦點F₁（－1，0），F₂（1，0）;（2）

【解析】

試題分析：（1）橢圓C的焦點在x軸上，

由橢圓上的點A到F₁、F₂兩點的距離之和是4，得2a=4，即a="2." （2分）

又點A（1，）在橢圓上，因此=1得b²=3，于是c²="1." （4分）

所以橢圓C的方程為=1，焦點F₁（－1，0），F₂（1，0） （6分）

（2）設橢圓C上的動點為K（x₁， y₁），線段F₁K的中點Q（x，y）滿足：

， 即x₁=2x+1，y₁=2y. （10分）

代入=1得=1.

即為所求的軌跡方程. （14分）

考點：本題考查了橢圓方程的求法及軌跡方程的求法

點評：處理軌跡問題時往往用到以下要注意用到這個方法：（1）結合解析幾何中某種曲線的定義，從定義出發(fā)尋找解決問題的方法；（2）利用幾何性質，若所求的軌跡與圖形的性質相關，往往利用三角形或圓的性質來解問題；（3）如果點P的運動軌跡或所在曲線已知，又點Q與點P之間的坐標可以建立某種關系，則借助點P的軌跡可以得到點Q的軌跡；（4）參數法