已知雙曲線的離心率為,右準(zhǔn)線方程為,
(1)求雙曲線C的方程;
(2)已知直線與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A,B,且線段AB的中點(diǎn)在以雙曲線C的實(shí)軸長為直徑的圓上,求m的值.
(1);(2).
解析試題分析:(1)因?yàn)檫@是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,故由雙曲線的幾何性質(zhì)知,這樣就可求出雙曲線方程;(2)這是直線與雙曲線相交,且與相交弦中點(diǎn)有關(guān)問題,一般方法就是把直線方程與雙曲線方程聯(lián)立方程組,消去得關(guān)于的方程,再由韋達(dá)定理得,如果記AB中點(diǎn)為,則,從而可把中點(diǎn)坐標(biāo)用參數(shù)表示出來了,最后利用中點(diǎn)M在圓上,可求出值.
試題解析:(1)由已知得,解得,∴,
∴雙曲線方程為. 4分
(2)以雙曲線實(shí)軸為直徑的圓的方程是:,把代入雙曲線方程劉:
,令,的中點(diǎn),則有:
,,代入圓方程
中得: ,所以.
考點(diǎn):(1)雙曲線的幾何性質(zhì);(2)直線與雙曲線相交問題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)P(1,0),且與定直線l:x=-1相切,點(diǎn)C在l上.
(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡M的方程;
(2)設(shè)過點(diǎn)P,且斜率為-的直線與曲線M相交于A、B兩點(diǎn). 問:△ABC能否為正三角形?若能,求點(diǎn)C的坐標(biāo);若不能,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓的離心率為,直線與以原點(diǎn)為圓心,以橢圓的短半軸長為半徑的圓相切.
(1)求橢圓的方程;
(2)拋物線與橢圓有公共焦點(diǎn),設(shè)與軸交于點(diǎn),不同的兩點(diǎn)、在 上(、與不重合),且滿足,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在直角坐標(biāo)系中,已知中心在原點(diǎn),離心率為的橢圓E的一個(gè)焦點(diǎn)為圓的圓心.
⑴求橢圓E的方程;
⑵設(shè)P是橢圓E上一點(diǎn),過P作兩條斜率之積為的直線,當(dāng)直線都與圓相切時(shí),求P點(diǎn)坐標(biāo).
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已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,離心率為,長軸長為,直線交橢圓于不同的兩點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)求的取值范圍;
(3)若直線不經(jīng)過橢圓上的點(diǎn),求證:直線的斜率互為相反數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓,、是其左右焦點(diǎn),離心率為,且經(jīng)過點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若、分別是橢圓長軸的左右端點(diǎn),為橢圓上動(dòng)點(diǎn),設(shè)直線斜率為,且,求直線斜率的取值范圍;
(3)若為橢圓上動(dòng)點(diǎn),求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知點(diǎn)F是拋物線C:的焦點(diǎn),S是拋物線C在第一象限內(nèi)的點(diǎn),且|SF|=.
(Ⅰ)求點(diǎn)S的坐標(biāo);
(Ⅱ)以S為圓心的動(dòng)圓與軸分別交于兩點(diǎn)A、B,延長SA、SB分別交拋物線C于M、N兩點(diǎn);
①判斷直線MN的斜率是否為定值,并說明理由;
②延長NM交軸于點(diǎn)E,若|EM|=|NE|,求cos∠MSN的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
知橢圓的離心率為,橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為,直線l的方程為:
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)已知直線l與橢圓相交于、兩點(diǎn)
①若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,求斜率的值;
②已知點(diǎn),求證:為定值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知拋物線與雙曲線有公共焦點(diǎn),點(diǎn)是曲線在第一象限的交點(diǎn),且.
(Ⅰ)求雙曲線的方程;
(Ⅱ)以雙曲線的另一焦點(diǎn)為圓心的圓與直線相切,圓:.過點(diǎn)作互相垂直且分別與圓、圓相交的直線和,設(shè)被圓截得的弦長為,被圓截得的弦長為,問:是否為定值?如果是,請求出這個(gè)定值;如果不是,請說明理由.
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