已知向量
OA
=（2
2
，0），O是坐標(biāo)原點，動點 M 滿足：|
OM
+
OA
|+|
OM
-
OA
|=6．
（1）求點 M 的軌跡 C 的方程；
（2）是否存在直線 l 過 D（0，2）與軌跡 C 交于 P、Q 兩點，且以 PQ 為直徑的圓過原點，若存在，求出直線 l 的方程；若不存在，說明理由．
（1）設(shè) B（-2
2
，0）…（1分）
則|
OM
+
OA
|+|
OM
-
OA
|=|
OM
+
OB
|+|
OM
-
OA
|=|
MB
|+|
MA
|=6
∴M 的軌跡為以 A、B 為焦點，長軸長為 6 的橢圓
由c=2
2
，2a=6?a=3?b=1              …（5分）
∴M 的軌跡 C的方程為 
x2
9
+y2=1           …（6分）
（2）設(shè)直線 l 的方程為 y=kx+2（k≠0且k存在），…（7分）
由 
y=kx+2
x2
9
+y2=1
得x2+9 （kx+2）2=9，
即 （1+9k2） x2+36kx+27=0         …（8分）
∴△=（36k）2-4×27 （1+9k2）＞0
即 9k2-3＞0，∴k＜-
3
3
或k＞
3
3
  （*）…（9分）
設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2）
∴x1+x2=-
36k
1+9k2
，x1x2=
27
1+9k2
                …（10分）
∵以 PQ 為直徑的圓過原點，
∴x1x2+y1y2=0，即x1x2+（kx1+2）（kx2+2）=0
∴（1+k2） x1 x2+2k （x1+x2）+4=0
即  
27(1+k2)
1+9k2
-
72k2
1+9k2
+4=0
解得k=±
31
3
滿足 （*）
∴滿足條件的直線 l 存在，
且直線 l 的方程為：
31
x-3y+6=0或 
31
x+3y-6=0  …（12分）
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
OA
=(2，0)，
OC
=
AB
=(0，1)，動點M到定直線y=1的距離等于d，并且滿足
OM
•
AM
=k(
CM
•
BM
-d2)，其中O是坐標(biāo)原點，k是參數(shù)．
（1）求動點M的軌跡方程，并判斷曲線類型；
（2）當(dāng)k=
1
2
時，求|
OM
+2
AM
|的最大值和最小值；
（3）如果動點M的軌跡是圓錐曲線，其離心率e滿足
3
3
≤e≤
2
2
，求實數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
OA
=(2，3)，
OB
=(4，5)，
OC
=(1，k)，若A，B，C三點共線，則k=
2
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
OA
=（2
2
，0），O是坐標(biāo)原點，動點 M 滿足：|
OM
+
OA
|+|
OM
-
OA
|=6．
（1）求點 M 的軌跡 C 的方程；
（2）是否存在直線 l 過 D（0，2）與軌跡 C 交于 P、Q 兩點，且以 PQ 為直徑的圓過原點，若存在，求出直線 l 的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知向量
OA
=(2，0)，
OC
=
AB
=(0，1)，動點M到定直線y=1的距離等于d，并且滿足
OM
•
AM
=k(
CM
•
BM
-d2)，其中O是坐標(biāo)原點，k是參數(shù)．
（1）求動點M的軌跡方程，并判斷曲線類型；
（2）當(dāng)k=
1
2
時，求|
OM
+2
AM
|的最大值和最小值；
（3）如果動點M的軌跡是圓錐曲線，其離心率e滿足
3
3
≤e≤
2
2
，求實數(shù)k的取值范圍．

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