Question

設(shè)f（x）=x²+bx+c（b、c∈R）．
（1）若f（x）在[-2，2]上不單調(diào)，求b的取值范圍；
（2）若f（x）≥|x|對一切x∈R恒成立，求證：b²+1≤4c；
（3）若對一切x∈R，有f(x+

1

x

)≥0，且f(

2x2+3

x2+1

)的最大值為1，求b、c滿足的條件．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)f（x）在[-2，2]上不單調(diào)，可得二次函數(shù)的對稱軸在此區(qū)間，建立不等關(guān)系，即可求得b的范圍；
（2）欲使函數(shù)f（x）≥|x|對一切x∈R恒成立，只需x²+bx+c≥x與x²+bx+c≥-x同時(shí)成立即可；
（3）欲對一切x∈R，有f(x+

1

x

)≥0，可轉(zhuǎn)化成對一切滿足|x|≥2的實(shí)數(shù)x，有f（x）≥0，求出

2x2+3

x2+1

的值域，再研究函數(shù)f（x）在其值域范圍內(nèi)的單調(diào)性，求出最大值，建立等量關(guān)系，求出b，c滿足的條件．

解答：解：（1）由題意-2＜

-b

2

＜2，
∴-4＜b＜4；
（2）須x²+bx+c≥x與x²+bx+c≥-x同時(shí)成立，即

(b-1)2-4c≤0 (b+1)2-4c≤0

，∴b²+1≤4c；
（3）因?yàn)?span id="g4zoayy" class="MathJye">|x+

1

x

|≥2，依題意，對一切滿足|x|≥2的實(shí)數(shù)x，有f（x）≥0．
①當(dāng)f（x）=0有實(shí)根時(shí)，f（x）=0的實(shí)根在區(qū)間[-2，2]內(nèi)，設(shè)f（x）=x²+bx+c，所以

f(-2)≥0 f(2)≥0 -2≤- b 2 ≤2

，
即

4-2b+c≥0 4+2b+c≥0 -4≤b≤4

，又

2x2+3

x2+1

=2+

1

x2+1

∈(2，3]，
于是，f(

2x2+3

x2+1

)的最大值為f（3）=1，即9+3b+c=1，從而c=-3b-8．
故

4-2b-3b-8≥0 4+2b-3b-8≥0 -4≤b≤4

，即

b≤- 4 5 b≤-4 -4≤b≤4

，解得b=-4，c=4．
②當(dāng)f（x）=0無實(shí)根時(shí)，△=b²-4c＜0，由二次函數(shù)性質(zhì)知，
f（x）=x²+bx+c在（2，3]上的最大值只能在區(qū)間的端點(diǎn)處取得，
所以，當(dāng)f（2）＞f（3）時(shí)，f(

2x2+3

x2+1

)無最大值．
于是，f(

2x2+3

x2+1

)存在最大值的充要條件是f（2）≤f（3），
即4+2b+c≤9+3b+c，所以，b≥-5．又f(

2x2+3

x2+1

)的最大值為f（3）=1，
即9+3b+c=1，從而c=-3b-8．由△=b²-4c＜0，得b²+12b+32＜0，即-8＜b＜-4．
所以b、c滿足的條件為3b+c+8=0且-5≤b＜-4．
綜上：3b+c+8=0且-5≤b≤-4．

點(diǎn)評：本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性，以及函數(shù)恒成立問題和函數(shù)最值與幾何意義，屬于中檔題．