Question

已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過(guò)A（-2，0）、B（2，0）、C(1，

3

2

)三點(diǎn)．
（1）求橢圓E的方程；
（2）過(guò)定點(diǎn)F(-

3

，0)作直線l與橢圓E交于M、N兩點(diǎn)，求△OMN的面積S的最大值及此時(shí)直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）由于不清楚橢圓焦點(diǎn)在哪條坐標(biāo)軸上，所以設(shè)其方程為mx²+ny²=1（m＞0，n＞0），然后把點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入解之即可；
（2）首先把直線按有無(wú)斜率進(jìn)行分類(lèi)，當(dāng)l⊥x軸時(shí)，易于求得△OMN的面積S；當(dāng)l的斜率存在時(shí)，設(shè)出l的點(diǎn)斜式方程，然后與橢圓方程聯(lián)立方程組，并消去y得關(guān)于x的一元二次方程，再由韋達(dá)定理用k的代數(shù)式表示出x₁+x₂與x₁x₂，則過(guò)焦點(diǎn)的弦MN及原點(diǎn)O到直線l的距離d均可由k的代數(shù)式表示出來(lái)，此時(shí)△OMN的面積S可得，進(jìn)一步運(yùn)用均值不等式求三角形面積S的最大值，最后比較兩種情況下的S進(jìn)而得出答案．

解答：解：（1）設(shè)橢圓E的方程為mx²+ny²=1（m＞0，n＞0），
將A（-2，0）、C(1，

3

2

)代入，得

4m=1 m+ 3 4 n=1

?

m= 1 4 n=1

．
∴橢圓E的方程為

x2

4

+y2=1．
（2）當(dāng)l⊥x軸時(shí)，l：x=-

3

，易得|MN|=1，則S=

1

2

×1×

3

=

3

2

．
當(dāng)l的斜率存在時(shí)，設(shè)l：y=k(x+

3

)，代入橢圓方程x²+4y²=4，得(1+4k2)x2+8

3

k2x+4(3k2-1)=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x1+x2=-

8 3 k2

1+4k2

，x1x2=

4(3k2-1)

1+4k2

．
∵F(-

3

，0)為橢圓E的左焦點(diǎn)，且橢圓中a=2，e=

3

2

，
∴|MN|=|MF|+|NF|=(a+ex1)+(a+ex2)=4+

3

2

(x1+x2)=

4(1+k2)

1+4k2

．
又原點(diǎn)O到直線l的距離d=

3 |k|

1+k2

，
∴S=

1

2

|MN|•d=2

3

|k|•

1+k2

1+4k2

=

2 3k2•(1+k2)

1+4k2

≤

3k2+(1+k2)

1+4k2

=1．
上式等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)3k²=1+k²，即k=±

2

2

時(shí)成立．
綜上，△OMN的面積S的最大值為1，此時(shí)直線l的方程為y=±

2

2

(x+

3

)即x±

2

y+

3

=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查用待定系數(shù)法求曲線方程以及直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，綜合性強(qiáng)，字母運(yùn)算能力是一大考驗(yàn)，靈活運(yùn)用均值不等式求三角形面積的最值是一大難點(diǎn)．