Question

如圖，在四面體ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB=120°，且OA=OB=OC=1
（I）設(shè)P為線段AC的中點，試在線段AB上求一點E，使得PE⊥OA；
（II）求二面角O-AC-B的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（I）以O(shè)為坐標(biāo)原點，分別以O(shè)A、OF、OC所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)

AE

=λ

AB

，我們求出向量

PE

，

OA

的根據(jù)PE⊥OA，我們易構(gòu)造關(guān)于λ的方程，解方程求出λ的值，進而求出P點的位置；
（II）我們求出平面ABC的法向量和平面OAC的法向量，代入向量夾角公式，即可求出二面角O-AC-B的平面角的余弦值．

解答：解：在平面內(nèi)AOB過點O作OF⊥OA交AB于點F．
以O(shè)為坐標(biāo)原點，分別以O(shè)A、OF、OC所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）．…（1分）
則A（1，0，0）、C（0，0，1）、B（-

1

2

，

3

2

，0）、P（

1

2

，0，

1

2

）．…．…..（3分）
（I）設(shè)

AE

=λ

AB

（0＜λ＜1），因為

AB

=（-

3

2

，

3

2

，0），
所以

OE

=

OA

+

AE

=（1，0，0）+λ（-

3

2

，

3

2

，0）=（1-

3

2

λ，

3

2

λ，0），

PE

=

OE

-

OP

=（

1

2

-

3

2

λ，

3

2

λ，-

1

2

），
因為PE⊥OA，所以

PE

•

OA

=0．即

1

2

-

3

2

λ=0，解得λ=

1

3

．
故所求點為E（

1

2

，

3

6

，0）．
即點E為線段AB的三等分點（靠近點A）．…（7分）
（II）設(shè)平面ABC的法向量為

m

=（x，y，z），

CA

=（1，0，-1），
由

m ⊥ AC m ⊥ AB

得

x-z=0 - 3 2 x+ 3 2 y=0

．
令z=1得x=1，y=

3

．即

m

=（1，

3

，1）．…..（9分）
又

n

=（0，1，0）是平面OAC的法向量，…（10分）
所以cos＜

m

，

n

＞=

15

5

．
故二面角O-AC-B的平面角的余弦值為

15

5

．…（12分）

點評：本題考查的知識點是與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題，空間中直線與直線之間的位置關(guān)系，其中（I）的關(guān)鍵是根據(jù)PE⊥OA，構(gòu)造關(guān)于λ的方程，解方程求出λ的值，（II）的關(guān)鍵是求出平面ABC的法向量和平面OAC的法向量，將二面角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題．