Question

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為正實數(shù)集，且滿足條件f（4）=1，對任意x₁，x₂屬于正實數(shù)，有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）且當x₁≠x₂時，有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞0．
（1）求f（1）的值；
（2）如果f（x+6）＜2，求x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用賦值法，令x₁=x₂=1可求出f（1）的值；
（2）根據(jù)f（4）=1可得f（16）=2，從而將f（x+6）＜2轉(zhuǎn)化成f（x+6）＜f（16），然后函數(shù)的單調(diào)性和定義域建立關(guān)系，解之即可．

解答：解：（1）∵對任意x₁，x₂屬于正實數(shù)，有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）
∴令x₁=x₂=1得f（1）=f（1）+f（1）即f（1）=0
（2）∵f（4）=1
∴2=f（4）+f（4）=f（16）
則f（x+6）＜2=f（16）
∵當x₁≠x₂時，有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞0．
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增
而函數(shù)f（x）的定義域為正實數(shù)集
則

x+6＜16 x+6＞0

解得-6＜x＜10
∴x的取值范圍為：-6＜x＜10

點評：本題主要考查了抽象函數(shù)求值，以及利用抽象函數(shù)的單調(diào)性解不等式，同時考查了轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題．