Question

已知數(shù)列{a_n}成等比數(shù)列，且a_n＞0.
(1)若a₂－a₁＝8，a₃＝m.①當(dāng)m＝48時(shí)，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；②若數(shù)列{a_n}是唯一的，求m的值；
(2)若a_2k＋a_2k－1＋…＋a_k＋1－(a_k＋a_k－1＋…＋a₁)＝8，k∈N^*，求a_2k＋1＋a_2k＋2＋…＋a_3k的最小值．

Answer 1

（1）見(jiàn)解析（2）32

設(shè)公比為q，則由題意，得q＞0.
(1)①由a₂－a₁＝8，a₃＝m＝48，得
解之，得或 
所以數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為
a_n＝8(2－)(3＋)^n－1，或a_n＝8(2＋)(3－)^n－1.
②要使?jié)M足條件的數(shù)列{a_n}是唯一的，即關(guān)于a₁與q的方程組有唯一正數(shù)解，即方程8q²－mq＋m＝0有唯一解．
由Δ＝m²－32m＝0，a₃＝m＞0，所以m＝32，此時(shí)q＝2.
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)m＝32時(shí)，數(shù)列{a_n}唯一，其通項(xiàng)公式是a_n＝2^n＋2.
(2)由a_2k＋a_2k－1＋…＋a_k＋1－(a_k＋a_k－1＋…＋a₁)＝8，
得a₁(q^k－1)(q^k－1＋q^k－2＋…＋1)＝8，且q＞1.
a_2k＋1＋a_2k＋2＋…＋a_3k＝a₁q^2k(q^k－1＋q^k－2＋…＋1)＝＝8
≥32，
當(dāng)且僅當(dāng)q^k－1＝，即q＝，a₁＝8(－1)時(shí)，
a_2k＋1＋a_2k＋2＋…＋a_3k的最小值為32