Question

為了參加師大附中第23屆田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)的開幕式，高三年級(jí)某6個(gè)班聯(lián)合到集市購買了6根竹竿，作為班旗的旗桿之用，它們的長(zhǎng)度分別為3.8，4.3，3.6，4.5，4.0，4.1（單位：米）．
（Ⅰ）若從中隨機(jī)抽取兩根竹竿，求長(zhǎng)度之差不超過0.5米的概率；
（Ⅱ）若長(zhǎng)度不小于4米的竹竿價(jià)格為每根10元，長(zhǎng)度小于4米的竹竿價(jià)格為每根a元．從這6根竹竿中隨機(jī)抽取兩根，若期望這兩根竹竿的價(jià)格之和為18元，求a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意知，本題是一個(gè)古典概型，6根竹竿的長(zhǎng)度從小到大依次為3.6，3.8，4.0，4.1，4.3，4.5，滿足條件的事件是其中長(zhǎng)度之差不超過0.5米的兩根竹竿，先做出它的對(duì)立事件的概率，用1減去得到結(jié)果．
（Ⅱ）由題意知任取兩根竹竿的價(jià)格之和為ξ，則ξ的可能取值為2a，a+10，20．結(jié)合變量對(duì)應(yīng)的事件寫出分布列和期望，根據(jù)期望這兩根竹竿的價(jià)格之和為18元，列出關(guān)于a的方程，解方程即可．

解答：解：（Ⅰ）由題意知，本題是一個(gè)古典概型，
∵6根竹竿的長(zhǎng)度從小到大依次為3.6，3.8，4.0，4.1，4.3，4.5，
其中長(zhǎng)度之差超過0.5米的兩根竹竿長(zhǎng)可能是3.6和4.3，3.6和4.5，3.8和4.5．
設(shè)“抽取兩根竹竿的長(zhǎng)度之差不超過0.5米”為事件A，
則P(

.

A

)=

3

C 2 6

=

3

15

=

1

5

，
∴P(A)=1-P(

.

A

)=1-

1

5

=

4

5

．
∴所求的概率為

4

5

．
（Ⅱ）設(shè)任取兩根竹竿的價(jià)格之和為ξ，則ξ的可能取值為2a，a+10，20．
其中P(ξ=2a)=

1

C 2 6

=

1

15

，
P(ξ=a+10)=

C 1 2 C 1 4

C 2 6

=

8

15

，
P(ξ=20)=

C 2 4

C 2 6

=

6

15

．
∴Eξ=2a×

1

15

+(a+10)×

8

15

+20×

6

15

=

2a+40

3

．
∵

2a+40

3

=18，
∴a=7．

點(diǎn)評(píng)：本題考查古典概型，考查對(duì)立事件的概率，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，考查的不是求期望，而是利用期望的值求式子中出現(xiàn)的一個(gè)變量，利用解方程的思想．