Question

甲、乙兩人在罰球線投球命中的概率分別為

1

2

與

2

5

，投中得1分，投不中得0分．
（Ⅰ）甲、乙兩人在罰球線各投球一次，求兩人得分之和ξ的數(shù)學(xué)期望；
（Ⅱ）甲、乙兩人在罰球線各投球二次，求這四次投球中至少一次命中的概率；

Answer 1

分析：（I）根據(jù)題意寫出甲和乙投中和不能投中的概率，甲、乙兩人得分之和ξ的可能取值為0、1、2，結(jié)合變量對應(yīng)的事件寫出變量的分布列和期望．
（II）甲、乙兩人在罰球線各投球二次，這四次投球中至少一次命中的事件是甲、乙兩人在罰球線各投球二次，這四次投球均未命中的對立事件，根據(jù)獨立重復(fù)試驗和對立事件的概率寫出結(jié)果．

解答：解：（Ⅰ）依題意，記“甲投一次命中”為事件A，“乙投一次命中”為事件B，
則P（A）=

1

2

，P（B）=

2

5

，P（

A

）=

1

2

，P（

B

）=

3

5

．
甲、乙兩人得分之和ξ的可能取值為0、1、2，
則ξ概率分布為：

∴Eξ=0×

3

10

+2×

1

5

=

9

10

∴每人在罰球線各投球一次，兩人得分之和ξ的數(shù)學(xué)期望為

9

10

．
（Ⅱ）“甲、乙兩人在罰球線各投球二次，這四次投球中至少一次命中”的事件是
“甲、乙兩人在罰球線各投球二次，這四次投球均未命中”的事件C的對立事件，
而P（C）=

C

0 2

(

1

2

)0(

1

2

)2×

C

2 2

(

2

5

)0(

3

5

)2=

9

100

．
∴甲、乙兩人在罰球線各投球二次，這四次投球中至少一次命中的概率為1-P（C）=

91

100

．
即甲、乙兩人在罰球線各投球二次，這四次投球中至少一次命中的概率為

91

100

．

點評：求離散型隨機(jī)變量的分布列和期望是近年來理科高考必出的一個問題，題目做起來不難，運算量也不大，只要注意解題格式就問題不大．