【題目】如圖,在三棱錐P-ABC中,平面PAC⊥平面ABC,都是正三角形, , E、F分別是AC、BC的中點(diǎn),且PDABD.

(Ⅰ)證明:直線⊥平面;

(Ⅱ)求二面角的正弦值.

【答案】(Ⅰ)證明見解析(Ⅱ)

【解析】

(Ⅰ)根據(jù)正三角形的性質(zhì)和面面垂直的性質(zhì)得,繼而可得出,由線面垂直的判斷可得證;

(Ⅱ)以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn),EA所在的直線為x軸,EB所在的直線為y軸,建立空間直角坐標(biāo)系如圖示,,得出點(diǎn)的坐標(biāo),繼而求得面的法向量,根據(jù)二面角的坐標(biāo)計(jì)算公式可得出二面角的正弦值.

(Ⅰ)∵EF分別是AC、BC的中點(diǎn),∴EF//AB,

在正三角形PAC中,PEAC,又平面PAC⊥平面ABC,平面PAC平面ABC=AC

PE⊥平面ABC,∴PEAB,又PDAB,PEPD=P

AB⊥平面PED, //

,又,

∴直線⊥平面.

(Ⅱ)∵平面PAC⊥平面ABC,平面PAC平面ABC=AC,BEAC,

BE⊥平面PAC,

以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn),EA所在的直線為x軸,EB所在的直線為y軸,建立空間直角坐標(biāo)系如圖示:

, ,

設(shè)為平面PAB的一個法向量,則由

,令,得,即,

設(shè)二面角的大小為,則,則,

,

即二面角的正弦值為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)時(shí),

則函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為_____

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)的圖象是自原點(diǎn)出發(fā)的一條折線,當(dāng))時(shí),該圖象是斜率為的線段,其中常數(shù),數(shù)列)定義.

1)若,求,;

2)求的表達(dá)式及的解析式(不必求的定義域);

3)當(dāng)時(shí),求的定義域,并證明的圖象與的圖象沒有橫坐標(biāo)大于1的公共點(diǎn).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某專賣店銷售一新款服裝,日銷售量(單位為件)f(n) 與時(shí)間n1≤n≤30、nN*)的函數(shù)關(guān)系如下圖所示,其中函數(shù)f(n) 圖象中的點(diǎn)位于斜率為 5 和-3 的兩條直線上,兩直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m,且第m天日銷售量最大.

(Ⅰ)f(n) 的表達(dá)式,及前m天的銷售總數(shù);

(Ⅱ)按以往經(jīng)驗(yàn),當(dāng)該專賣店銷售某款服裝的總數(shù)超過 400 件時(shí),市面上會流行該款服裝,而日銷售量連續(xù)下降并低于 30 件時(shí),該款服裝將不再流行.試預(yù)測本款服裝在市面上流行的天數(shù)是否會超過 10 天?請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知橢圓)的離心率為,短軸長為.

(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(Ⅱ)若直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn),且線段的垂直平分線過定點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=丨x+a+1丨+丨x-丨,(a>0)。

(1)證明:f(x)≥5;

(2)若f(1)<6成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別是,是橢圓外的動點(diǎn),滿足.點(diǎn)是線段與該橢圓的交點(diǎn),點(diǎn)在線段上,并且滿足,.

(1)當(dāng)時(shí),用點(diǎn)P的橫坐標(biāo)表示;

(2)求點(diǎn)的軌跡的方程;

(3)在點(diǎn)的軌跡上,是否存在點(diǎn),使的面積?若存在,求出的正切值;若不存在,說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知集合是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)的全體:存在實(shí)數(shù),對于定義域內(nèi)任意,均有成立,稱數(shù)對為函數(shù)的“伴隨數(shù)對”.

1)判斷函數(shù)是否屬于集合,并說明理由;

2)若函數(shù),求滿足條件的函數(shù)的所有“伴隨數(shù)對”;

3)若、都是函數(shù)的“伴隨數(shù)對”,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,求當(dāng)時(shí),函數(shù)的解析式和零點(diǎn).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知橢圓C)的焦距為,且右焦點(diǎn)F與短軸的兩個端點(diǎn)組成一個正三角形.若直線l與橢圓C交于、,且在橢圓C上存在點(diǎn)M,使得:(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則稱直線l具有性質(zhì)H.

1)求橢圓C的方程;

2)若直線l垂直于x軸,且具有性質(zhì)H,求直線l的方程;

3)求證:在橢圓C上不存在三個不同的點(diǎn)P、Q、R,使得直線、、都具有性質(zhì)H.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案