Question

如圖，設(shè)P₁，P₂，P₃，…，P_n，…是曲線y=

x

上的點(diǎn)列，Q₁，Q₂，Q₃，…，Q_n，…是x軸正半軸上的點(diǎn)列，且△OQ₁P₁，△Q₁Q₂P₂，…，△Q_n-1Q_nP_n，…都是正三角形，設(shè)它們的邊長為a₁，a₂，…，a_n，…，求證：a₁+a₂+…+a_n=

1

3

n（n+1）．

Answer 1

分析：（1）由題意知P₁（

1

3

，

3

3

）．由此可知a₁=|OP₁|=

2

3

．而

1

3

×1×2=

2

3

，命題成立．
（2）假設(shè)n=k（k∈N*）時(shí)命題成立，即a₁+a₂++a_k=

1

3

k（k+1），則點(diǎn)Q_k的坐標(biāo)為（

1

3

k（k+1），0），直線Q_kP_k+1的方程為y=

3

[x-

1

3

k（k+1）]．然后用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．

解答：證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，點(diǎn)P₁是直線y=

3

x與曲線y=

x

的交點(diǎn)，
∴可求出P₁（

1

3

，

3

3

）．
∴a₁=|OP₁|=

2

3

．而

1

3

×1×2=

2

3

，命題成立．
（2）假設(shè)n=k（k∈N*）時(shí)命題成立，即a₁+a₂++a_k=

1

3

k（k+1），
則點(diǎn)Q_k的坐標(biāo)為（

1

3

k（k+1），0），
∴直線Q_kP_k+1的方程為y=

3

[x-

1

3

k（k+1）]．
代入y=

x

，解得P_k+1點(diǎn)的坐標(biāo)為（

(k+1)2

3

，

3

3

（k+1））
∴a_k+1=|Q_kP_k+1|=

3

3

（k+1）•

2

3

=

2

3

（k+1）．
∴a₁+a₂++a_k+a_k+1=

1

3

k（k+1）+

2

3

（k+1）=

1

3

（k+1）（k+2）．
∴當(dāng)n=k+1時(shí)，命題成立．
由（1）（2）可知，命題對所有正整數(shù)都成立．

點(diǎn)評：本題的關(guān)鍵是求出P_k+1的縱坐標(biāo)，再根據(jù)正三角形高與邊的關(guān)系求出|Q_kP_k+1|．