Question

【題目】已知函數(shù) ，且該函數(shù)的圖象過點（1，5）． （Ⅰ）求f（x）的解析式，并判斷f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）判斷f（x）在區(qū)間（0，2）上的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性的定義證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）因為函數(shù)f（x）圖象過點（1，5），即1+ =5，解得m=4．

所以 ．

因為f（x）的定義域為（∞，0）∪（0，+∞），定義域關(guān)于坐標原點對稱，

又 ，

所以函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．

（II）函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）上是減函數(shù)．

證明：設(shè)x1，x2∈（0，2），且x1＜x2，

則

=

因為x1，x2∈（0，2），則x1x2∈（0，4），

所以 ．

又因為x1＜x2，所以x1x2＜0，

所以 ，即f（x1）f（x2）＞0．

所以f（x）在區(qū)間（0，2）上是減函數(shù)．

【解析】（Ⅰ）根據(jù)條件求出m的值，結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義進行證明即可，（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進行證明即可．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用奇偶性與單調(diào)性的綜合的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性．