【題目】已知函數.
(1)若在處與直線相切,求的值;
(2)在(1)的條件下,求在上的最大值;
(3)若不等式對所有的都成立,求的取值范圍.
【答案】(1);(2)最大值為;(3).
【解析】試題分析:(1)已知“在處與直線相切”說明, ,聯(lián)立可解得;(2)要求最大值,首先通過導數研究函數在上的單調性與極值,發(fā)現在此區(qū)間上只要一個極大值點,它一定是最大值點;(3)本小題不等式恒成立問題,有兩個參數,因此要把問題進行轉化,不等式對所有的, 都成立,即對所有的, 都成立,即對所有的, 都成立,即對恒成立,即對恒成立,
即a大于等于在區(qū)間上的最大值,下面只要求得于在區(qū)間上的最大值即可.
試題解析:(1).
由函數在處與直線相切,得,即.
解得: .
(2)由(1)得: ,定義域為.
此時, ,令,解得,令,得.
所以在上單調遞增,在上單調遞減,
所以在上的最大值為.
(3)若不等式對所有的, 都成立,
即對所有的, 都成立,
即對所有的, 都成立,
即對恒成立,
即對恒成立,
即a大于等于在區(qū)間上的最大值.
令,則,當時, , 單調遞增,
所以, 的最大值為,即.
所以a的取值范圍為.
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【題目】“微信運動”已成為當下熱門的健身方式,小王的微信朋友圈內也有大量好友參與了“微信運動”,他隨機選取了其中的40人(男、女各20人),記錄了他們某一天的走路步數,并將數據整理如下:
(1)若采用樣本估計總體的方式,試估計小王的所有微信好友中每日走路步數超過5000步的概率;
(2)已知某人一天的走路步數超過8000步被系統(tǒng)評定“積極型”,否則為“懈怠型”,根據題意完成下面的列聯(lián)表,并據此判斷能否有95%以上的把握認為“評定類型”與“性別”有關?
附: ,
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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【題目】四棱錐P-ABCD中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面ABCD,
E為PD的中點,PA=2AB=2.
(1)若F為PC的中點,求證PC⊥平面AEF;
(2)求二面角的平面角的正弦值.
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【題目】某中學在高二年級開設大學選修課程《線性代數》,共有名同學選修,其中男同學名,女同學名.為了對這門課程的教學效果進行評估,學校按性別采取分層抽樣的方法抽取人進行考核.
(1)求抽取的人中男、女同學的人數;
(2)考核前,評估小組打算從選出的中隨機選出名同學進行訪談,求選出的兩名同學中恰有一名女同學的概率;
(3)考核分答辯和筆試兩項. 位同學的筆試成績分別為;結合答辯情況,他們的考核成績分別為.這位同學筆試成績與考核成績的方差分別記為,試比較和的大小.(只需寫出結論)
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【題目】給出下列四個命題:
①函數y=|x|與函數y= 表示同一個函數;
②奇函數的圖象一定通過直角坐標系的原點;
③函數y=3(x﹣1)2的圖象可由y=3x2的圖象向右平移1個單位得到;
④若函數f(x)的定義域為[0,2],則函數f(2x)的定義域為[0,4];
⑤設函數f(x)是在區(qū)間[a.b]上圖象連續(xù)的函數,且f(a)f(b)<0,則方程f(x)=0在區(qū)間[a,b]上至少有一實根.
其中正確命題的序號是 . (填上所有正確命題的序號)
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【題目】設函數f(x)=x3-3ax2+3bx的圖像與直線12x+y-1=0相切于點(1,-11)。
(1)求a,b的值;
(2)討論函數f(x)的單調性.
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【題目】如圖,M,N,K分別是正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB,CD,C1D1的中點.
(1)求證:AN∥平面A1MK;
(2)求證:平面A1B1C⊥平面A1MK.
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