【題目】由郭帆執(zhí)導(dǎo)吳京主演的電影《流浪地球》于2019年2月5日起在中國(guó)內(nèi)地上映，影片引發(fā)了觀影熱潮，預(yù)計(jì)《流浪地球》票房收入47億人民幣，超過《紅海行動(dòng)》成為中國(guó)影史票房亞軍，僅次于《戰(zhàn)狼2》.某電影院為了解該影院觀看《流浪地球》的觀眾的年齡構(gòu)成情況，隨機(jī)抽取了40名觀眾，將他們的年齡分成7段：，，，，，，，得到如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）試求這40名觀眾年齡的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)；

（2）（i）若從樣本中年齡在50歲以上的觀眾中任取3名贈(zèng)送VIP貴賓觀影卡，求這3名觀眾至少有1人年齡不低于70歲的概率；

（ii）該電影院決定采用抽獎(jiǎng)方式來提升觀影人數(shù)，將《流浪地球》電影票票價(jià)提高20元，并允許購(gòu)買電影票的觀眾抽獎(jiǎng)3次，中獎(jiǎng)1次、2次、3次分別獎(jiǎng)現(xiàn)金元、元，元.設(shè)觀眾每次中獎(jiǎng)的概率均為，若要使抽獎(jiǎng)方案對(duì)電影院有利，則最高可定為多少元？（結(jié)果精確到個(gè)位）

【答案】(1)37,35,35

(2)(i) ,(ii)37

【解析】

（1）根據(jù)頻率分布直方圖的數(shù)據(jù)，以及平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的計(jì)算公式即得解；

（2）(i)根據(jù)頻率分布直方圖得到樣本中50歲以上的觀眾人數(shù)，以及不低于70歲的觀眾人數(shù)，利用超幾何概型即得解；

（ii）由題意知服從二項(xiàng)分布，利用二項(xiàng)分布的概率公式即得解.

平均數(shù)

，

前三組的頻率之和為：0.15+0.20+0.30=0.65,

故中位數(shù)落在第3組，設(shè)中位數(shù)為x，則

即中位數(shù)為35，第三組的頻率最大，故眾數(shù)為35.

（2）(i)由頻率分布直方圖年齡在50歲以上的觀眾共有名，年齡不低于70歲的觀眾有2名，記事件A為“這3名觀眾至少有1人年齡不低于70歲的概率”，則：

.

(ii)設(shè)觀眾三次抽獎(jiǎng)所獲得的獎(jiǎng)金總額為隨機(jī)變量，其所有可能取得值為：（單位：元）, 表示顧客三次抽獎(jiǎng)都沒有獲獎(jiǎng).

所以：，

觀眾在三次抽獎(jiǎng)中獲得的獎(jiǎng)金總額的期望值為：

令

所以x最高定價(jià)為37元時(shí)，才能使得抽獎(jiǎng)方案對(duì)電影院有利.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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①若，，，則；

②若，，，則或；

③若，，，則或；

④若，，，，則且；

其中正確命題的序號(hào)是（　�。�

A.①②B.①③C.①④D.②④

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【題目】古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯在他的著作《圓錐曲線論》中記載了用平面切制圓錐得到圓錐曲線的方法.如圖，將兩個(gè)完全相同的圓錐對(duì)頂放置（兩圓錐的軸重合），已知兩個(gè)圓錐的底面半徑為1，母線長(zhǎng)均為，記過圓錐軸的平面ABCD為平面（與兩個(gè)圓錐面的交線為AC、BD），用平行于的平面截圓錐，該平面與兩個(gè)圓錐側(cè)面的截線即為雙曲線E的一部分，且雙曲線E的兩條漸近線分別平行于AC、BD，則雙曲線E的離心率為（ ）

A.B.C.D.2

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【題目】定義：如果存在實(shí)常數(shù)a和b，使得函數(shù)總滿足，我們稱這樣的函數(shù)是“型函數(shù)”.請(qǐng)解答以下問題：

（1）已知函數(shù)是“型函數(shù)”，求p和b的值；

（2）已知函數(shù)是“型函數(shù)”，求一組滿足條件的k、m和a的值，并說明理由.

（3）已知函數(shù)是一個(gè)“型函數(shù)”，且，是增函數(shù)，若是在區(qū)間上的圖像上的點(diǎn)，求點(diǎn)M隨著變化可能到達(dá)的區(qū)域的面積的大小，并證明你的結(jié)論.

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【題目】已知定義在上的函數(shù)和數(shù)列滿足下列條件:，當(dāng)且時(shí)，且，其中均為非零常數(shù).

（1）數(shù)列是等差數(shù)列，求的值；

（2）令，若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3）證明:數(shù)列是等比數(shù)列的充要條件是.

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（1）若該校約有的學(xué)生體重不超過“標(biāo)準(zhǔn)體重”，試估計(jì)的值，并說明理由；

（2）從第3、4、5組中用分層抽樣的方法抽取6名學(xué)生進(jìn)行了第二次測(cè)試，現(xiàn)從這6人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行日常運(yùn)動(dòng)習(xí)慣的問卷調(diào)查，求抽到4組的人數(shù)的分布列及期望.

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（Ⅰ）按此估計(jì)求小明A組題得分比B組題得分多1分的概率；

（Ⅱ）記小明在比賽中的得分為ξ，按此估計(jì)ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ．

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（2）求第n次（，）由乙拋擲的概率.

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