Question

將圓

X=cosθ Y=1+sinθ

的中心到直線y=kx的距離記為d=f（k）給出下列判斷
①數列{nf（n）}是遞增數列
②數列{

1

f2(n)

}的前n項和是

n(2n2+3n+7)

6

③

lim

n→∞

[

1

f(n+1)

-

1

f(n)

]^-1=1
④

2

f(n)+f(n+1)

＜

f-1+f-1(n+1)

2

其中正確的結論是（　　）

A．①②③④

B．①②③

C．①③

D．①

Answer 1

分析：利用點到直線的距離公式求出f（k）=

1

1+k2

，
根據nf（n）=

1- 1 n2+1

，故數列{nf（n）}是遞增數列，故①正確．
根據數列{

1

f2(n)

}的前n項和可化為 1+1²+1+2²+1+3²+…1+n²，運算求出結果，可得②正確．
先化簡[

1

f(n+1)

-

1

f(n)

]^-1 =

1+ 2 n + 2 n2 + 1+ 1 n2

2

，易求得其極限為1，故③正確．
先化簡

2

f(n)+f(n+1)

，再利用基本不等式證得此式小于或等于

f-1+f-1(n+1)

2

，故④正確．

解答：解：圓

X=cosθ Y=1+sinθ

的圓心為（0，1），它到直線y=kx的距離d=f（k）=

1

1+k2

．
∵nf（n）=

n

1+n2

=

1- 1 n2+1

，故數列{nf（n）}是遞增數列，故①正確．
∵

1

f2(n)

=1+n²，故數列{

1

f2(n)

}的前n項和是 1+1²+1+2²+1+3²+…1+n²=n+（1+2²+3²+…+n²）
=n+

n(n+1)(2n+1)

6

=

n(2n2+3n+7)

6

，故②正確．
∵[

1

f(n+1)

-

1

f(n)

]^-1 =

1

1+(n+1)2 - 1+n2

=

1+(n+1)2 + 1+n2

2n

=

1+ 2 n + 2 n2 + 1+ 1 n2

2

，
∴

lim

n→∞

[

1

f(n+1)

-

1

f(n)

]^-1=

lim

n→∞

 

1+ 2 n + 2 n2 + 1+ 1 n2

2

=1，故③正確．

∵

2

f(n)+f(n+1)

=

2

1 1+k2 + 1 1+(k+1)2

=

2 1+n2 • 1+(n+1)2

1+n2 + 1+(n+1)2

≤

2× 1 4 ( 1+n2 + 1+(n+1)2 )2

1+n2 + 1+(n+1)2

=

1+n2 + 1+(n+1)2

2

．
而

f-1+f-1(n+1)

2

=

1+n2 + 1+(n+1)2

2

，故④正確．
故答案為：①②③④．

點評：本題主要考查點到直線的距離公式，求數列的極限，式子的化簡變形是解題的難點和關鍵．