Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率，且橢圓的短軸長為2．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）已知直線l1，l2過右焦點F2，且它們的斜率乘積為﹣1，設(shè)l1，l2分別與橢圓交于點A，B和C，D．①求AB＋CD的值；②設(shè)AB的中點M，CD的中點為N，求△OMN面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（2）①②

【解析】

（Ⅰ）由離心率e=，短軸長為2．可得a，b，即可寫出方程；（2）設(shè)出直線 ： 與橢圓聯(lián)立,求出，同理 ，求出中點坐標M,N，再利用MN兩點確定的直線恒過定點和面積公式即可求出.

（Ⅰ）由題意得2b=2，∴b=1，

∵，a2=b2+c2，∴a=，c=1，

∴橢圓的方程為．

（2）由題意知k0，右焦點 設(shè) ：

設(shè)A（ ）B()

因為l1，l2的斜率乘積為﹣1,所以 所以= +=3

過定點 可通過特殊情形猜想，若有定點，則在x 軸上．

在k≠0，k≠±1的情況下，設(shè)直線l的方程為：x=ky+1，

直線l的方程為： ，

由（2）得，y= ，

故 ，即M（，），

則N(， )…．（12分）

可得直線MN的方程：，

即，則，即

y=

故直線MN過定點（或令y=0，即得x=）

易驗證當(dāng)k=0，k=±1時，結(jié)論仍成立．

綜上，直線MN過定點

所以S= =

所以面積最大