【題目】已知橢圓的離心率，為橢圓的右焦點(diǎn)，，為橢圓的上、下頂點(diǎn)，且的面積為．

（1）求橢圓的方程；

（2）動(dòng)直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，證明：在第一象限內(nèi)存在定點(diǎn)，使得當(dāng)直線與直線的斜率均存在時(shí)，其斜率之和是與無關(guān)的常數(shù)，并求出所有滿足條件的定點(diǎn)的坐標(biāo)．

【答案】（1）1；（2）證明見解析，（1，）

【解析】

（1）設(shè)橢圓的半焦距為，由，，的關(guān)系和三角形的面積公式，結(jié)合離心率公式，解方程可得，，進(jìn)而得到橢圓方程；

（2）設(shè)，，，，，聯(lián)立直線和橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和判別式大于0，以及斜率公式，化簡(jiǎn)計(jì)算，考慮它的和為常數(shù)，可令的系數(shù)為0，進(jìn)而得到的坐標(biāo)．

解：（1）設(shè)橢圓的半焦距為，則，

又由的面積為，可得，解得，或，

離心率，則時(shí)，，舍去，

則，，所以橢圓的方程為；

（2）證明：設(shè)，，，，，

將直線代入橢圓可得，

由，可得，則有，，

為與無關(guān)的常數(shù)，

可得當(dāng)，時(shí)，斜率的和恒為0，解得或（舍去），

綜上所述，在第一象限內(nèi)滿足條件的定點(diǎn)的坐標(biāo)為．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】以橢圓的中心O為圓心，以為半徑的圓稱為該橢圓的“伴隨”．已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn)．

（1）求橢圓C及其“伴隨”的方程；

（2）過點(diǎn)作“伴隨”的切線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，記為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為，將表示為m的函數(shù)，并求的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為是上一點(diǎn)．

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)是分別關(guān)于兩坐標(biāo)軸及坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，平行于的直線交于異于的兩點(diǎn)．點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為．證明：直線與軸圍成的三角形是等腰三角形．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知曲線與曲線，（為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．

（1）寫出曲線，的極坐標(biāo)方程；

（2）在極坐標(biāo)系中，已知與，的公共點(diǎn)分別為，，，當(dāng)時(shí)，求的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2018年3月5日上午，李克強(qiáng)總理做政府工作報(bào)告時(shí)表示，將新能源汽車車輛購(gòu)置稅優(yōu)惠政策再延長(zhǎng)三年，自2018年1月1日至2020年12月31日，對(duì)購(gòu)置的新能源汽車免征車輛購(gòu)置稅.新能源汽車銷售的春天來了！從衡陽地區(qū)某品牌新能源汽車銷售公司了解到，為了幫助品牌迅速占領(lǐng)市場(chǎng)，他們采取了保證公司正常運(yùn)營(yíng)的前提下實(shí)行薄利多銷的營(yíng)銷策略（即銷售單價(jià)隨日銷量（臺(tái)）變化而有所變化），該公司的日盈利（萬元），經(jīng)過一段時(shí)間的銷售得到，的一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：

日銷量臺(tái)

1

2

3

4

5

日盈利萬元

6

13

17

20

22

將上述數(shù)據(jù)制成散點(diǎn)圖如圖所示：

（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷與中，哪個(gè)模型更適合刻畫，之間的關(guān)系？并從函數(shù)增長(zhǎng)趨勢(shì)方面給出簡(jiǎn)單的理由；

（2）根據(jù)你的判斷及下面的數(shù)據(jù)和公式，求出關(guān)于的回歸方程，并預(yù)測(cè)當(dāng)日銷量時(shí)，日盈利是多少？

參考公式及數(shù)據(jù)：線性回歸方程，其中，；

，，

，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某商場(chǎng)進(jìn)行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，顧客購(gòu)物每滿500元，可選擇返回50元現(xiàn)金或參加一次抽獎(jiǎng)，抽獎(jiǎng)規(guī)則如下：從1個(gè)裝有6個(gè)白球、4個(gè)紅球的箱子中任摸一球，摸到紅球就可獲得100元現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，假設(shè)顧客抽獎(jiǎng)的結(jié)果相互獨(dú)立.

（Ⅰ）若顧客選擇參加一次抽獎(jiǎng)，求他獲得100元現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)的概率；

（Ⅱ）某顧客已購(gòu)物1500元，作為商場(chǎng)經(jīng)理，是希望顧客直接選擇返回150元現(xiàn)金，還是選擇參加3次抽獎(jiǎng)？說明理由；

（Ⅲ）若顧客參加10次抽獎(jiǎng)，則最有可能獲得多少現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，、、，且都有，滿足的實(shí)數(shù)有且只有個(gè)，給出下述四個(gè)結(jié)論：

①滿足題目條件的實(shí)數(shù)有且只有個(gè)；②滿足題目條件的實(shí)數(shù)有且只有個(gè)；

③在上單調(diào)遞增；④的取值范圍是．

其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（ ）

A.①④B.②③C.①②③D.①③④

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，圓與雙曲線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為M，若．則該雙曲線的離心率為

A. 2B. 3C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2020年，新冠狀肺炎疫情牽動(dòng)每一個(gè)中國(guó)人的心，危難時(shí)刻眾志成城，共克時(shí)艱，為疫區(qū)助力．福建省漳州市東山縣共101個(gè)海鮮商家及個(gè)人為緩解武漢物質(zhì)壓力，募捐價(jià)值百萬的海鮮輸送武漢．東山島，別稱陵島，形似蝴蝶亦稱蝶島，隸屬于福建省漳州市東山縣，是福建省第二大島，中國(guó)第七大島，介于廈門市和廣東省汕頭之間，東南是著名的閩南漁場(chǎng)和粵東漁場(chǎng)交匯處，因地理位置發(fā)展海產(chǎn)品養(yǎng)殖業(yè)具有得天獨(dú)厚的優(yōu)勢(shì)．根據(jù)養(yǎng)殖規(guī)模與以往的養(yǎng)殖經(jīng)驗(yàn)，某海鮮商家的海產(chǎn)品每只質(zhì)量（克）在正常環(huán)境下服從正態(tài)分布．

（1）隨機(jī)購(gòu)買10只該商家的海產(chǎn)品，求至少買到一只質(zhì)量小于265克該海產(chǎn)品的概率；

（2）2020年該商家考慮增加先進(jìn)養(yǎng)殖技術(shù)投入，該商家欲預(yù)測(cè)先進(jìn)養(yǎng)殖技術(shù)投入為49千元時(shí)的年收益增量．現(xiàn)用以往的先進(jìn)養(yǎng)殖技術(shù)投入（千元）與年收益增量（千元）．的數(shù)據(jù)繪制散點(diǎn)圖，由散點(diǎn)圖的樣本點(diǎn)分布，可以認(rèn)為樣本點(diǎn)集中在曲線的附近，且，，其中．根據(jù)所給的統(tǒng)計(jì)量，求y關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測(cè)先進(jìn)養(yǎng)殖技術(shù)投入為49千元時(shí)的年收益增量．

附：若隨機(jī)變量，則;

對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為．

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