Question

如圖，已知矩形ABCD所在平面外一點P，PA⊥平面ABCD，AB=1，BC=2，PA=2，E、F分別是AB、PC的中點．
（1）求證：EF∥平面PAD；
（2）求證：CD⊥EF
（3）求EF與平面ABCD所成的角的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）建立空間直角坐標系，用坐標表示向量，確定與共面，即可證明EF∥平面PAD；
（2）證明=0，即可得到結(jié)論；
（3）利用向量的夾角公式，計算＜＞=45°，從而可求EF與平面ABCD所成的角的大�。�
解答：（1）證明：如圖，建立空間直角坐標系A(chǔ)-xyz，則：A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）
∵E為AB的中點，F(xiàn)為PC的中點，
∴E（，0，0），F(xiàn)（，1，1）
∴
∴
∴與共面
∵E∉平面PAD，
∴EF∥平面PAD；
（2）證明：∵
∴=（-1，0，0）•（0，1，1）=0
∴CD⊥EF；
（3）解：∵
∴cos＜＞===
∴＜＞=45°
∵⊥平面AC
∴是平面AC的法向量
∴EF與平面AC所成的角為90°-＜＞=45°．
點評：本題考查線面平行，考查線線垂直，考查線面角，考查向量知識的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．