已知正方體ABCD??A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，以頂點(diǎn)A為球心，為半徑作一個(gè)球，則球面與正方體的表面相交所得到的曲線的長(zhǎng)等于        。


解析:

如圖，球面與正方體的六個(gè)面都相交，所得的交線分為兩類：一類在頂點(diǎn)A所在的

三個(gè)面上，即面AA1B1B、面ABCD和面AA1D1D上；另一類在不過頂點(diǎn)A的三個(gè)面上，即面BB1C1C、面CC1D1D和面A1B1C1D1上。在面AA1B1B上，交線為弧EF且在過球心A的大圓上，因?yàn)?img width=74 height=46 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/6/361006.gif">，AA1=1，則。同理，所以，故弧EF的長(zhǎng)為，而這樣的弧共有三條。在面BB1C1C上，交線為弧FG且在距球心為1的平面與球面相交所得的小圓上，此時(shí)，小圓的圓心為B，半徑為，，所以弧FG的長(zhǎng)為。這樣的弧也有三條。

于是，所得的曲線長(zhǎng)為。

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如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)P在平面DD1C1C內(nèi)，PD1=PC1=
2
．求證：
（1）平面PD1A1⊥平面D1A1BC；
（2）PC1∥平面A1BD．

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（2）在棱CC1上是否存在一個(gè)點(diǎn)E，可以使二面角A1-BD-E的大小為45°？如果存在，試確定點(diǎn)E在棱CC1上的位置；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

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已知正方體ABCD-A1B1C1D1，則四面體A1-C1BD在面A1B1C1D1上的正投影的面積與該四面體表面積之比是
3
6
3
6
．

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（2）求異面直線AD1與 C1O所成角的大�。�

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