Question

已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，記,,
 .
（1）若，且對(duì)任意，三個(gè)數(shù)組成等差數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
（2）證明：數(shù)列是公比為的等比數(shù)列的充分必要條件是：對(duì)任意，三個(gè)數(shù)組成公比為的等比數(shù)列.

Answer 1

（1）；（2）詳見(jiàn)解析

試題分析：（1）由三個(gè)數(shù)是等差數(shù)列，可得.根據(jù)定義可知即。變形為 ，由等差數(shù)列的定義可知，數(shù)列是首項(xiàng)為１，公差為４的等差數(shù)列。從而可得其通項(xiàng)公式。（2）若對(duì)于任意，三個(gè)組成公比為的等比數(shù)列，則，由得將上式變形整理根據(jù)等比數(shù)列的定義可證得數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；若數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，則對(duì)任意，有.根據(jù)已知可證得＝，從而三個(gè)數(shù)組成公比為的等比數(shù)列.
解: （1)因?yàn)閷?duì)任意，三個(gè)數(shù)是等差數(shù)列，
所以.                             1分
所以,                                        2分
即.                                      3分
所以數(shù)列是首項(xiàng)為１，公差為４的等差數(shù)列.                   4分
所以.                                  5分
（2）（１）充分性：若對(duì)于任意，三個(gè)數(shù)組成公比為的等比數(shù)列，則
.                       6分
所以得    
即.                                       7分
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，由可得，                   8分
所以.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824051231727464.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以.                                         
即數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，                  9分
（２）必要性：若數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，則對(duì)任意，有
.                                                 10分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824051231727464.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以均大于.于是
                 11分
               12分
即＝＝，所以三個(gè)數(shù)組成公比為的等比數(shù)列.   13分
綜上所述，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列的充分必要條件是：對(duì)任意n∈N﹡，三個(gè)數(shù)組成公比為的等比數(shù)列.                  14分