Question

（2009•閔行區(qū)一模）已知三棱錐P-ABC，PA⊥底面ABC，PA=1，底面ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，D是PC的中點，PC與底面ABC所成角的大小為

π

6

，求異面直線AD與PB所成角的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）．

Answer 1

分析：取BC中點E，連AE，DE，由三角形中位線定理及異面直線夾角的定義可得，∠ADE（或其補角）的大小即為異面直線AD與PB所成的角的大小．結(jié)合已知條件解△ADE求出∠ADE的余弦值，進而可得異面直線AD與PB所成角的大小．

解答：解：取BC中點E，連AE，DE，
∵D為PC中點，∴DE∥PB，
∴∠ADE（或其補角）的大小即為異面直線AD與PB所成的角的大�。�（2分）
∵PA⊥底面ABC，
∴∠PCA就是PC與底面ABC所成角，即∠PCA=

π

6

，
且PA⊥AB，PA⊥AC，
由已知條件及平面幾何知識，得：PC=2，AC=AB=

3

，PB=2，
于是AD=1，DE=1，AE=

6

2

，（8分）
在△ADE中，由余弦定理得cos∠ADE=

AD2+DE2-AE2

2AD•DE

=

1+1- 6 4

2×1×1

=

1

4

（12分）
∴∠ADE=arccos

1

4

，
即異面直線AD與PB所成的角的大小為arccos

1

4

．（14分）

點評：本題考查的知識點是異面直線及其所成的角，其中構(gòu)造出∠ADE（或其補角）的大小即為異面直線AD與PB所成的角的大小，是解答本題的關鍵．