Question

（本小題滿分12分）

        橢圓的右焦點(diǎn)為F，過原點(diǎn)和x軸不重合的直線與橢圓E交于A，B，兩點(diǎn)，|AF|+|BF|=4，的最小值為0.5。

   （I）求橢圓E的方程；

   （II）若直線與橢圓E交于M，N兩點(diǎn)（其中），以線段MN為直徑的圓過E的右頂點(diǎn)，求證：直線過定點(diǎn)。

Answer 1

解(1)由橢圓的對(duì)稱性，設(shè)A(x₁，y₁)，B(－x₁，－y₁)，F(c，0)，

因?yàn)閨AF|+|BF|=，

即a=2，在三角形AFB中，

由正弦定理得

因?yàn)?≤≤a²，所以≥，∴b=1.

所求橢圓方程為;………5分

(Ⅱ) 由得(1+4k²)x²+8kmx+4m²－4=0.由題意得△>0，即m²－1－4k²<0.(※)

設(shè)交點(diǎn)M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，則

因?yàn)橐?i>MN為直徑的圓過(2，0)，所以(x₁－2)(x₂－2)+y₁y₂=0，

即(x₁－2)(x₂－2) +(kx₁+m)(kx₂+m)=0，整理得

5m²+16km+12k²=0，(m+2k)(5m+6k)=0，注意到

故解得m=－2k.經(jīng)檢驗(yàn)，滿足(※)式.

m=－2k時(shí)，直線方程為y=k(x－2)，恒過定點(diǎn)(2，0) ………12分