【題目】已知函數(shù);

()若m=1,求證 在(0,+∞)上單調遞增

()若,試討論g(x)零點的個數(shù).

【答案】(1)見解析(2) 當m<1時,g(x)沒有零點;m=1時,g(x)有一個零點;m>1時,g(x)有兩個零點

【解析】試題分析:(Ⅰ) m=1時, ,要證上單調遞增,只要證: 對x>0恒成立,令,通過求導可證得,通過求導可證得,所以即得證;

(Ⅱ) 由,顯然是增函數(shù),令,得∴g(x)在(0,x0]上是減函數(shù),在[x0,+∞)上是増函數(shù),∴g(x)有極小值,g(x0) =,分情況討論

①當m=1時②m<1時③當m>1時三種情況通過求導研究單調性,最值即可得解.

試題解析:

(Ⅰ)m=1時, ,

要證上單調遞增,只要證: 對x>0恒成立,

,則,當時, ,

當x<1時, ,故上單調遞減,在上單調遞增

所以,即 (當且僅當x=1時等號成立),

,則

當0<x<1時, ,當時, ,故j(x)在(0,1)上單調遞減,在上單調遞增,

所以,即 (當且僅當x =1時取等號),

(當且僅當x =1時等號成立)

上單調遞增.

(Ⅱ)由,顯然是增函數(shù),

,得,

時, 時,

∴g(x)在(0,x0]上是減函數(shù),在[x0,+∞)上是増函數(shù),

∴g(x)有極小值,g(x0) =

①當m=1時, ,g(x)極小值=g(1) =0,g(x)有一個零點1;

②m<1時,0<x0<1, ,g(x)沒有零點;

③當m>1時,x0>1g(x0)<1-0-1=0,又

又對于函數(shù),

∴當x>0時,y>1-0-1 = 0,即,

g(3m) = ,

,則,

m>1, t(m)>t(1)==2-ln3>0,g(3m)>0,

有兩個零點,

綜上,當m<1時,g(x)沒有零點;m=1時,g(x)有一個零點;m>1時,g(x)有兩個零點.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】某林業(yè)部門為了保證植樹造林的樹苗質量,對甲、乙兩家供應的樹苗進行根部直徑檢測,現(xiàn)從兩家供應的樹苗中各隨機抽取10株樹苗檢測,測得根部直徑如下(單位:mm):

27

11

21

10

19

09

22

13

15

23

15

20

27

17

21

14

16

18

24

18

1)畫出甲、乙兩家抽取的10株樹苗根部直徑的莖葉圖,并根據(jù)莖葉圖對甲、乙兩家樹苗進行比較,寫出兩個統(tǒng)計結論;

2)設抽測的10株乙家樹苗根部直徑的平均值為,將這10株樹苗直徑依次輸入程序框圖中,求輸出的S的值,并說明其統(tǒng)計學的意義.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù) 是自然對數(shù)的底數(shù)的圖象上存在關于軸對稱的點,則實數(shù)a的取值范圍是()

A. B.

C. D.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,在棱長均為4的三棱柱中, 分別是的中點.

(1)求證: 平面

(2)若平面平面,求三棱錐的體積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,直三棱柱ABC—A1B1C1中,側面AA1B1B是正方形,AC丄側面AA1B1B,AC=AB,點E是B1C1的中點.

(Ⅰ)求證:C1A∥平面EBA1;

(Ⅱ)若EF丄BC1,垂足為F,求二面角B—AF—A1的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知是橢圓上一點, 為橢圓的兩焦點,且,則面積為( )

A. B. C. D.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】對某校高一年級學生參加社區(qū)服務次數(shù)進行統(tǒng)計,隨機抽取M名學生作為樣本,得到這M名學生參加社區(qū)服務的次數(shù).根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計表和頻率分布直方圖如下:

分組

頻數(shù)

頻率

[10,15)

10

0.25

[15,20)

25

n

[20,25)

m

p

[25,30)

2

0.05

合計

M

1

(1)求出表中M,p及圖中a的值;

(2)若該校高一學生有360人,試估計該校高一學生參加社區(qū)服務的次數(shù)在區(qū)間[15,20)內的人數(shù);

(3)在所取樣本中,從參加社區(qū)服務的次數(shù)不少于20次的學生中任選2人,請列舉出所有基本事件,并求至多1人參加社區(qū)服務次數(shù)在區(qū)間[20,25)內的概率.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,在各棱長均為的三棱柱中,側面底面, .

(1)求側棱與平面所成角的正弦值的大小;

(2)已知點滿足,在直線上是否存在點,使平面?若存在,請確定點的位置,若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】的內角的對邊分別為,已知.

(1)求

(2)若, 成等差數(shù)列,求的面積.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案