【題目】已知點(diǎn)A(﹣4,4)、B(4,4),直線AM與BM相交于點(diǎn)M,且直線AM的斜率與直線BM的斜率之差為﹣2,點(diǎn)M的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C 的軌跡方程;
(2)Q為直線y=﹣1上的動點(diǎn),過Q做曲線C的切線,切點(diǎn)分別為D、E,求△QDE的面積S的最小值.
【答案】(1) (2)最小值4
【解析】試題分析:(Ⅰ)設(shè),由題意得,化簡可得曲線的方程為 ; (Ⅱ)設(shè),切線方程為,與拋物線方程聯(lián)立互為,由于直線與拋物線相切可得,解得,可切點(diǎn),由,利用韋達(dá)定理,得到,得到為直角三角形,得出三角形面積的表達(dá)式,即可求解三角形的最小值.
試題解析:(Ⅰ)設(shè)M(x,y),由題意可得: ,
化為x2=4y.
∴曲線C 的軌跡方程為x2=4y且(x≠±4).
聯(lián)立,化為x2﹣4kx+4(km+1)=0,
由于直線與拋物線相切可得△=0,即k2﹣km﹣1=0.
∴x2﹣4kx+4k2=0,解得x=2k.可得切點(diǎn)(2k,k2),
由k2﹣km﹣1=0.∴k1+k2=m,k1k2=﹣1.
∴切線QD⊥QE.
∴△QDE為直角三角形, |QD||QE|.
令切點(diǎn)(2k,k2)到Q的距離為d,
則d2=(2k﹣m)2+(k2+1)2=4(k2﹣km)+m2+(km+2)2=4(k2﹣km)+m2+k2m2+4km+4=(4+m2)(k2+1),
∴|QD|=,
|QE|=,
∴(4+m2)=≥4,
當(dāng)m=0時,即Q(0,﹣1)時,△QDE的面積S取得最小值4.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=(log2x)2﹣4log2x+1.
(1)求f(8)的值;
(2)當(dāng)2≤x≤16時,求f(x)的最大值和最小值.
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【題目】已知復(fù)數(shù)z1=(1+bi)(2+i),z2=3+(1﹣a)i(a,b∈R,i為虛數(shù)單位).
(1)若z1=z2 , 求實數(shù)a,b的值;
(2)若b=1,a=0,求| |.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD所在的平面和平面互相垂直,等腰梯形中, , , , , 分別為的中點(diǎn), 為底面的重心.
(Ⅰ)求證: ∥平面;
(Ⅱ)求直線與平面所成角的正弦值.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+1(x∈R),(a,b為實數(shù)).
(1)若f(1)=0,且函數(shù)f(x)的值域為[0,+∞),求f(x)的表達(dá)式;
(2)在(1)的條件下,若關(guān)于x方程|f(x+1)﹣1|=m|x﹣1|只有一個實數(shù)解,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)在(1)的條件下,求函數(shù)h(x)=2f(x+1)+x|x﹣m|+2m最小值.
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【題目】解答
(1)求證:函數(shù)y=x+ 有如下性質(zhì):如果常數(shù)a>0,那么該函數(shù)在(0, ]上是減函數(shù),在[ ,+∞)上是增函數(shù).
(2)若f(x)= ,x∈[0,1],利用上述性質(zhì),求函數(shù)f(x)的值域;
(3)對于(2)中的函數(shù)f(x)和函數(shù)g(x)=﹣x﹣2a,若對任意x1∈[0,1],總存在x2∈[0,1],使得g(x2)=f(x1),求實數(shù)a的值.
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【題目】已知在四棱錐中,底面是菱形, , 平面, 分別是的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證: 平面;
(Ⅱ)若,求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
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【題目】集合A={x|(x﹣3)(x﹣a)=0,a∈R},B={x|(x﹣4)(x﹣1)=0},則集合A∪B,A∩B中元素的個數(shù)不可能是( )
A.4和1
B.4和0
C.3和1
D.3和0
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【題目】如圖所示的程序框圖運(yùn)行程序后,輸出的結(jié)果是31,則判斷框中的整數(shù)H=( )
A.3
B.4
C.5
D.6
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