Question

如圖，已知圓O的直徑AB長(zhǎng)度為4，點(diǎn)D為線(xiàn)段AB上一點(diǎn)，且，點(diǎn)C為圓O上一點(diǎn)，且．點(diǎn)P在圓O所在平面上的正投影為點(diǎn)D，PD=BD．
（Ⅰ）求證：CD⊥平面PAB；
（Ⅱ）求PD與平面PBC所成的角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知可得△ACO為等邊三角形，從而CD⊥AO．由點(diǎn)P在圓O所在平面上的正投影為點(diǎn)D，可得PD⊥平面ABC，得到PD⊥CD，再利用線(xiàn)面垂直的判定定理即可證明；
（II）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥CB，垂足為E，連接PE，再過(guò)點(diǎn)D作DF⊥PE，垂足為F．得到DF⊥平面PBC，故∠DPF為所求的線(xiàn)面角．在Rt△DEB中，利用邊角關(guān)系求出DE即可．
解答：（Ⅰ）證明：連接CO，由3AD=DB知，點(diǎn)D為AO的中點(diǎn)，
又∵AB為圓O的直徑，∴AC⊥CB，
由知，∠CAB=60°，
∴△ACO為等邊三角形，從而CD⊥AO．
∵點(diǎn)P在圓O所在平面上的正投影為點(diǎn)D，
∴PD⊥平面ABC，又CD?平面ABC，
∴PD⊥CD，
由PD∩AO=D得，CD⊥平面PAB．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知CD=，PD=DB=3，
過(guò)點(diǎn)D作DE⊥CB，垂足為E，連接PE，再過(guò)點(diǎn)D作DF⊥PE，垂足為F．
∵PD⊥平面ABC，又CB?平面ABC，
∴PD⊥CB，又PD∩DE=D，
∴CB⊥平面PDE，又DF?平面PDE，
∴CB⊥DF，又CB∩PE=E，
∴DF⊥平面PBC，故∠DPF為所求的線(xiàn)面角．
在Rt△DEB中，DE=DBsin30°=，，
．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)、正投影的意義、線(xiàn)面垂直的判定與性質(zhì)定理、線(xiàn)面角的定義與作法、直角三角形的邊角關(guān)系等是解題的關(guān)鍵．