Question

已知二次函數(shù)f（x）的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=2

3

，它在y軸上的截距為4，對(duì)任意的x都有f（x+1）=f（1-x）．（1）求f（x）的表達(dá)式；（2）若二次函數(shù)的圖象都在直線l：y=x+c下方，求c的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）可用待定系數(shù)法求參數(shù)，將題設(shè)條件逐個(gè)轉(zhuǎn)化，對(duì)任意的x都有f（x+1）=f（1-x）轉(zhuǎn)化為對(duì)稱軸為x=1，在y軸上的截距為4轉(zhuǎn)化為圖象過(guò)（0，4）點(diǎn)，圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=2

3

可以得到兩根差的絕對(duì)值等于3，依次將這三個(gè)關(guān)系用參數(shù)表示出來(lái)求參數(shù)．
（2）二次函數(shù)的圖象都在直線l：y=x+c下方，即橫坐標(biāo)相同時(shí)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的縱坐標(biāo)都小于等于直線上相應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)，利用此關(guān)系建立相應(yīng)的不等式，此不等式為關(guān)于x的一元二次不等式，下?lián)�具體情況將此不等式恒成立的問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為參數(shù)c的不等式即可．

解答：解：（1）∵f（x+1）=f（1-x），∴y=f（x）的對(duì)稱軸為x=1，
又f（x）為二次函數(shù)，可設(shè)f（x）=a（x-1）²+k（a≠0）．
又當(dāng)x=0時(shí)，y=4，∴a+k=4，得f（x）=a（x-1）²+4．令f（x）=0得a（x-1）²+4=0，
∴x=1±

a-4 a

（

a-4

a

≥0）
∴|AB|=2

a-4 a

，又|AB|=2

3

，
∴

a-4 a

=

3

，∴a=-2，
∴f（x）=-2x²+4x+4
（2）由條件知-2x²+4x+4≤x+c在x?R恒成立，即2x²-4x-4+c≥0對(duì)x?R恒成立，
∴△=9+8（4-c）≤0，∴c≥

41

8

∴c的取值范圍是[

41

8

，+∞)

點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)是二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于二次函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用題，第一小題頭緒繁多，第二小題轉(zhuǎn)化方式隱蔽，對(duì)抽象思緒要求較高，極好地考查了依據(jù)相關(guān)知識(shí)進(jìn)行靈活轉(zhuǎn)化的技能．對(duì)本題的轉(zhuǎn)化依據(jù)與轉(zhuǎn)化方式要認(rèn)真分析，作為以后解題的借鑒．