Question

已知函數(shù)f（x）=|x²-1|+x²+kx，且定義域為（0，2）．
（1）求關于x的方程f（x）=kx+3在（0，2）上的解；
（2）若f（x）是定義域（0，2）上的單調函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍；
（3）若關于x的方程f（x）=0在（0，2）上有兩個不同的解x₁，x₂，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）對x分0＜x≤1與1＜x＜2兩種情況討論，使函數(shù)f（x）=|x²-1|+x²+kx中的絕對值符號去掉，從而可求得f（x）=kx+3在（0，2）上的解；
（2）將f（x）=|x²-1|+x²+kx化為：f（x）=|

1+kx(0＜x≤1) 2x2+kx-1(1≤x＜2)

，對k與二次函數(shù)的對稱軸分

k＞0 - k 4 ≤1

與

k＜0 - k 4 ≥2

兩種情況討論，都可滿足f（x）是定義域（0，2）上的單調函數(shù)，從而求得k的取值范圍；
（3）解法一：當0＜x≤1時，kx=-1，①，當1＜x＜2時，2x²+kx-1=0，②
對于①②再分k=0與k≠0討論解決；
解法二：f（x）=0⇒）=|x²-1|+x²=-kx，|x²-1|+x²=

2x2-1，-1≤x＜2 1，0＜x＜1

，從而-k=

2x- 1 x (1≤x＜2) 1 x (0＜x＜1)

，
再分析函數(shù)的單調情況及取值，從而得到答案．

解答：解：（1）∵f（x）=|x²-1|+x²+kx，
∴f（x）=kx+3即|x²-1|+x²=3
當0＜x≤1時，|x²-1|+x²=1-x²+x²=1，此時該方程無解…（1分）
當1＜x＜2時，|x²-1|+x²=2x²-1，原方程等價于：x²=2，此時該方程的解為

2

．
綜上可知：方程f（x）=kx+3在（0，2）上的解為

2

．…（3分）
（2）∵f（x）=|x²-1|+x²+kx，
∴f（x）=

1+kx(0＜x≤1) 2x2+kx-1(1≤x＜2)

…（4分）
∵k×1+1=2×1+k-1，…（5分）
可得：若f（x）是單調遞增函數(shù)，則

k＞0 - k 4 ≤1

∴此時k＞0…（6分）
若f（x）是單調遞減函數(shù)，則

k＜0 - k 4 ≥2

∴此時k≤-8，…（7分）
綜上可知：f（x）是單調函數(shù)時k的取值范圍為（-∞，-8]∪（0，+∞）．…（8分）
（2）[解法一]：當0＜x≤1時，kx=-1，①
當1＜x＜2時，2x²+kx-1=0，②
若k=0則①無解，②的解為x=±

2

2

∉（1，2）故k=0不合題意 …（9分）
若k≠0則①的解為x=-

1

k

，
（Ⅰ）當-

1

k

∈（0，1]時，k≤-1時，方程②中△=k²+8＞0，
故方程②中一根在（1，2）內另一根不在（1，2）內，…（10分）
設g（x）=2x²+kx-1，而x₁x₂=-

1

2

＜0則

g(1)＜0 g(2)＞0

，

k＜-1 k＞- 7 2

   又k≤-1，
故-

7

2

＜k＜-1，…（11分）
（Ⅱ）當-

1

k

∉（0，1]時，即-1＜k＜0或k＞0時，方程②在（1，2）須有兩個不同解，…12分
而x₁x₂=-

1

2

＜0，知道方程②必有負根，不合題意…13分
綜上所述，故-

7

2

＜k＜-1，…14分．
解法二：f（x）=0⇒=|x²-1|+x²=-kx，…9分
|x²-1|+x²=

2x2-1，1≤x＜2 1，0＜x＜1

，…10分
∴-k=

2x- 1 x (1≤x＜2) 1 x (0＜x＜1)

…12分
分析函數(shù)的單調情況及取值情況易得解，用圖象法須作圖，再用必要文字說明…13分
利用分段函數(shù)的圖象得：-

7

2

＜k＜-1，…14分

點評：本題考查帶絕對值的函數(shù)，解決的關鍵是通過分類討論去絕對值符號，難點在于復雜的討論與轉化，考查學生綜合分析與運算的能力，考查化歸思想，分類討論思想、屬性結合思想，屬于難題．