Question

【題目】已知拋物線，過拋物線焦點(diǎn)的直線分別交拋物線和圓于點(diǎn)(自上而下)．

（1）求證：為定值；

（2）若、、成等差數(shù)列，求直線的方程．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）．

【解析】

（1）討論當(dāng)直線過焦點(diǎn)且垂直于軸時(shí)，四點(diǎn)坐標(biāo)可直接求出，可求得，當(dāng)直線過焦點(diǎn)且不垂直于軸時(shí)，設(shè)直線方程為，聯(lián)立拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和拋物線的定義，即可得到定值；

（1）由、、成等差數(shù)列，可得，從而可得，而，，列方程可求出斜率，從而可求出直線方程.

（1）由題知，焦點(diǎn)，圓半徑；

①當(dāng)斜率不存在時(shí)，，交點(diǎn)，此時(shí)；

②當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)，

聯(lián)立，消去得

由韋達(dá)定理得，顯然恒成立

由拋物線定義得，同理，

所以．

（2）由成等差數(shù)列，得

所以弦長(zhǎng)

由（1）知顯然斜率存在，由拋物線定義得

故，解得，

所以直線的方程為．