【題目】已知向量 =( sin3x,﹣y), =(m,cos3x﹣m)(m∈R),且 + = .設(shè)y=f(x).
(1)求f(x)的表達(dá)式,并求函數(shù)f(x)在[ , ]上圖象最低點(diǎn)M的坐標(biāo).
(2)在△ABC中,f(A)=﹣ ,且A> π,D為邊BC上一點(diǎn),AC= DC,BD=2DC,且AD=2 ,求線段DC的長(zhǎng).

【答案】
(1)解:向量 =( sin3x,﹣y), =(m,cos3x﹣m)(m∈R),

+ =(m+ sin3x,﹣y+cos3x﹣m),

+ =

m+ sin3x=0,﹣y+cos3x﹣m=0

∴y=cos3x+ sin3x

即y=f(x)=2sin(3x+

∴f(x)的表達(dá)式f(x)=2sin(3x+

∵x在[ ]上,

∴3x+ ∈[ ],

當(dāng)3x+ = 時(shí),取得最低點(diǎn),此時(shí)x= ,y=﹣1.

∴函數(shù)f(x)在[ , ]上圖象最低點(diǎn)M的坐標(biāo)為( ,﹣1).


(2)解:由f(A)=﹣ ,即2sin(3A+ )=

可得:3A+ = +2kπ或3A+ = +2kπ,k∈Z.

∵π>A> π,

∴A=

∴△ABC是直角三角形.

AC= DC,BD=2DC,

設(shè)DC=x,則AC= x,BD=2x,BC=3x.

可得:AB=

在三角形ADB和三角形ADC中,由余弦定理:可得cos∠BDA=

cos∠ADC= ,

∵∠ADC+∠BDA=π.

=﹣

解得:x=

∴線段DC的長(zhǎng)為


【解析】(1)根據(jù) + = .用x表示y可得f(x)的表達(dá)式.即可求函數(shù)f(x)在[ , ]上圖象最低點(diǎn)M的坐標(biāo).(2)根據(jù)f(A)=﹣ ,且A> π,求出A,AC= DC,BD=2DC,且AD=2 ,利用余弦定理求出線段DC的長(zhǎng).

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