【題目】已知數(shù)列,為其前n項的和，滿足.

(1)求數(shù)列的通項公式；

(2)設數(shù)列的前n項和為，數(shù)列的前n項和為，求證:當時；

(3)若函數(shù)的定義域為R，并且，求證.

【答案】(1)；(2)見解析；(3)見解析.

【解析】

(1)當時，,當.

(2)求出數(shù)列的通項公式可后求前n項和及，整理得，也可用數(shù)學歸納法證明該等式.

(3)結(jié)合函數(shù)的定義域及已知極限可得，再就的符號分類討論可證.

解:(1)當時，，

當時,，

∴.

(2)法一：∵，∴，

∴

.

法二：數(shù)學歸納法.

①時，,，等式成立.

②假設時有，

當時，，

又

.

故即，

∴是原式也成立，

由①②可知當時.

(3) ∵函數(shù)的定義域為，所以恒不為零，

而的值域為，∴.

又時，，與矛盾，故.

易知，否則若，則，與矛盾，

若，則，與矛盾，

∴，∴即有.

練習冊系列答案
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（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）如果等比數(shù)列共有2016項，其首項與公比均為2，在數(shù)列的每相鄰兩項與之間插入個后，得到一個新的數(shù)列．求數(shù)列中所有項的和；

（3）是否存在實數(shù)，使得存在，使不等式成立，若存在，求實數(shù)的范圍，若不存在，請說明理由．

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