【題目】為豐富市民的文化生活,市政府計(jì)劃在一塊半徑為200m,圓心角為的扇形地上建造市民廣場(chǎng),規(guī)劃設(shè)計(jì)如圖:內(nèi)接梯形區(qū)域?yàn)檫\(yùn)動(dòng)休閑區(qū),其中A,B分別在半徑上,C,D在圓弧上,

;上,;區(qū)域?yàn)槲幕箙^(qū),長(zhǎng)為,其余空地為綠化區(qū)域,且長(zhǎng)不得超過(guò)200m.

(1)試確定A,B的位置,使的周長(zhǎng)最大?

(2)當(dāng)的周長(zhǎng)最長(zhǎng)時(shí),設(shè),試將運(yùn)動(dòng)休閑區(qū)的面積S表示為的函數(shù),并求出S的最大值.

【答案】(1)、都為50m;(2);;最大值為.

【解析】

對(duì)于(1),設(shè),,m,,在△OAB中,利用余弦定理可得,整理得,結(jié)合基本不等式即可得出結(jié)論;

對(duì)于(2),當(dāng)△AOB的周長(zhǎng)最大時(shí),梯形ACBD為等腰梯形,過(guò)OOFCDCDF,交ABE,則E、F分別為ABCD的中點(diǎn),利用已知可表示出相關(guān)線段;然后利用梯形的面積公式可知, ,,令,,,結(jié)合導(dǎo)數(shù),確定函數(shù)的單調(diào)性,即可求出S的最大值。

解:(1)設(shè),,m,

中,,

.

所以.

所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取得最大值,

此時(shí)周長(zhǎng)取得最大值.

答:當(dāng)都為50m時(shí),的周長(zhǎng)最大.

(2)當(dāng)的周長(zhǎng)最大時(shí),梯形為等腰梯形.

如上圖所示,過(guò)OF,交E,則E、F分別為、的中點(diǎn),

所以.由,得.

中,.

又在中,,故.

所以

,.

,,

.

上均為單調(diào)遞減函數(shù),

上為單調(diào)遞減函數(shù).

,故上恒成立,

于是,上為單調(diào)遞增函數(shù).

所以當(dāng)時(shí),有最大值,此時(shí)S有最大值為.

答:當(dāng)時(shí),梯形面積有最大值,且最大值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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