Question

已知A∈[0，2π]，且滿足sin(2A+

π

6

)+sin(2A-

π

6

)+2cos2A≥2
（1）求角A的取值集合M；
（2）若函數(shù)f（x）=cos2x+4ksinx（k＞0，x∈M）的最大值是

3

2

，求實數(shù)k的值．

Answer 1

分析：（1）由兩角和與差的正弦公式，可得

3

sin2A+cos2A≥1，再利用輔助角公式化簡得sin(2A+

π

6

)≥

1

2

，結合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)加以計算，即可得到角A的取值集合M；
（2）利用二倍角的余弦公式，化簡得f（x）=-2sin²x+4ksinx+1，再令sinx=t（0≤t≤

3

2

）得到關于t的二次函數(shù)y=-2t²+4kt+1，結合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可算出滿足條件的實數(shù)k=

1

2

．

解答：解（1）∵sin(2A+

π

6

)+sin(2A-

π

6

)+2cos2A≥2
∴sin2Acos

π

6

+cos2Asin

π

6

+sin2Acos

π

6

-cos2Asin

π

6

+cos2A+1≥2…（1分）
可得

3

sin2A+cos2A≥1，…（2分）    
即sin(2A+

π

6

)≥

1

2

，…（3分）
因此2kπ+

π

6

≤2A+

π

6

≤2kπ+

5π

6

，k∈Z，…（4分）
即kπ≤A≤kπ+

π

3

，k∈Z，
結合A∈[0，2π]，得到角A的取值集合M=[0，

π

3

]…（6分）
（2）∵cos2x=1-2sin²x
∴f（x）=-2sin²x+4ksinx+1，
設sinx=t∈[0，

3

2

]
∴f（x）=-2t²+4kt+1，t∈[0，

3

2

]，
二次函數(shù)圖象的對稱軸t=k＞0…（8分）
①當0＜k≤

3

2

時，t=k時函數(shù)有最大值，f（k）=-2t²+4kt+1=

3

2

，解之得k=

1

2

；…（10分）
②當k＞

3

2

時，t=

3

2

時函數(shù)有最大值，解之得k=

3

3

，不符合題意，舍去  …（12分）
綜上所述，滿足條件的實數(shù)k=

1

2

．…（13分）

點評：本題解一個關于角A的三角不等式，并依此解集作為函數(shù)的定義域來求函數(shù)的最大值，著重考查了三角恒等變換、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)和二次函數(shù)的性質(zhì)等知識，屬于中檔題．