Question

（2013•東城區(qū)二模）已知函數f（x）=lnx+

a

x

（a＞0）．
（1）求f（x）的單調區(qū)間；
（2）如果P（x₀，y₀）是曲線y=f（x）上的任意一點，若以P（x₀，y₀）為切點的切線的斜率k≤

1

2

恒成立，求實數a的最小值；
（3）討論關于x的方程f（x）=

x3+2(bx+a)

2x

-

1

2

的實根情況．

Answer 1

分析：（1）求出原函數的定義域，求出函數的導函數，由導函數的零點把定義域分段，根據導函數的符號得原函數的單調區(qū)間；
（2）把原函數求導后直接得到斜率的表達式，代入k≤

1

2

后把參數a分離出來，然后利用二次函數求最值得到實數a的最小值；
（3）把f（x）=lnx+

a

x

代入f（x）=

x3+2(bx+a)

2x

-

1

2

，整理后得b=lnx-

1

2

x2+

1

2

，討論原方程的根的情況，即討論方程b=lnx-

1

2

x2+

1

2

的根的情況，引入輔助函數h(x)=lnx-

1

2

x2-b+

1

2

，求導得到函數在（0，+∞）上的最大值，由最大值大于0，等于0，小于0分析b的取值情況．

解答：解：（Ⅰ）函數f（x）=lnx+

a

x

（a＞0）的定義域為（0，+∞），
則f′(x)=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

．
因為a＞0，由f^′（x）＞0得x∈（a，+∞），由f^′（x）＜0得x∈（0，a），
所以f（x）的單調遞增區(qū)間為（a，+∞），單調遞減區(qū)間為（0，a）．
（Ⅱ）由題意，以P（x₀，y₀）為切點的切線的斜率k滿足
k=f′(x0)=

x0-a

x02

≤

1

2

（x₀＞0），
所以a≥-

1

2

x02+x0對x₀＞0恒成立．
又當x₀＞0時，-

1

2

x02+x0=-

1

2

(x0-1)2+

1

2

≤

1

2

，
所以a的最小值為

1

2

．
（Ⅲ）由f（x）=

x3+2(bx+a)

2x

-

1

2

，即lnx+

a

x

=

x3+2(bx+a)

2x

-

1

2

．
化簡得b=lnx-

1

2

x2+

1

2

（x∈（0，+∞））．
令h(x)=lnx-

1

2

x2-b+

1

2

，則h′(x)=

1

x

-x=

(1+x)(1-x)

x

．
當x∈（0，1）時，h^′（x）＞0，
當x∈（1，+∞）時，h^′（x）＜0，
所以h（x）在區(qū)間（0，1）上單調遞增，在區(qū)間（1，+∞）上單調遞減．
所以h（x）在x=1處取得極大值即最大值，最大值為h(1)=ln1-

1

2

×12-b+

1

2

=-b．
所以 
 當-b＞0，即b＜0時，y=h（x） 的圖象與x軸恰有兩個交點，方程f（x）=

x3+2(bx+a)

2x

-

1

2

有兩個實根，
當b=0時，y=h（x） 的圖象與x軸恰有一個交點，方程f（x）=

x3+2(bx+a)

2x

-

1

2

有一個實根，
當b＞0時，y=h（x） 的圖象與x軸無交點，方程f（x）=

x3+2(bx+a)

2x

-

1

2

無實根．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性，考查了導數在求最值中的應用，訓練了分離變量法求參數的取值范圍，考查了數學轉化思想和分類討論的數學思想，屬難度稍大的題型．