【題目】如圖,已知橢圓,為橢圓的左右頂點(diǎn),焦點(diǎn)到短軸端點(diǎn)的距離為2,且,為橢圓上異于的兩點(diǎn),直線的斜率等于直線斜率的2倍.
(1)求直線與直線的斜率乘積值;
(2)求證:直線過定點(diǎn),并求出該定點(diǎn);
(3)求三角形的面積的最大值.
【答案】(1);(2)證明見解析,定點(diǎn)為;(3)
【解析】
(1)由題意可得:a=2,,a2=b2+c2,聯(lián)立解出可得橢圓E的方程為:1.設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)(x,y),y2(4﹣x2),則A(﹣2,0),B(2,0),利用斜率計(jì)算公式可得kAPkBP,由kBQ=2kAP,可得kBPkBQ.
(2)當(dāng)直線PQ的斜率存在時,設(shè)lPQ:y=kx+t與x軸的交點(diǎn)為M,與橢圓方程聯(lián)立得:(2k2+1)x2+4ktx+2t2﹣4=0,設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),由kBPkBQ=﹣1,即0,利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、根與系數(shù)的關(guān)系可得結(jié)論.
(3)由(2)可知: t.且S=S△APQ=S△APM+S△AQM|y1﹣y2|,利用根與系數(shù)的關(guān)系、函數(shù)的單調(diào)性可得S.當(dāng)直線PQ的斜率不存在時,可得|PQ|,可得S.
(1)解:由題意可得:a=2,,a2=b2+c2,
聯(lián)立解得a=2,b=c.
∴橢圓E的方程為:1.
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)(x,y),y2(4﹣x
kAP,kBP,
則kAPkBP,
由kBQ=2kAP,故kBPkBQ=﹣1.
∴直線BP與直線BQ的斜率乘積為﹣1為定值.
(2)證明:當(dāng)直線PQ的斜率存在時,設(shè)lPQ:y=kx+t與x軸的交點(diǎn)為M,聯(lián)立,
整理得:(2k2+1)x2+4ktx+2t2﹣4=0,
設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則x1+x2,x1x2,
由kBPkBQ=﹣1,即0,則y1y2+x1x2﹣2(x1+x2)+4=0,
得(k2+1)x1x2+(kt﹣2)(x1+x2)+4+t2=0,
4k2+8kt+3t2=0,得t=﹣2k或tk.y=k(x﹣2)或y=k(x),
所以過定點(diǎn)(2,0)或(,0),
A(2,0)為橢圓的右頂點(diǎn),舍去,
當(dāng)直線PQ的斜率不存在時,當(dāng)時易得 ,滿足0
綜上直線PQ過定點(diǎn)M(,0).
(3)解:由(2)可知:當(dāng)直線PQ的斜率存在時,t
S=S△APQ=S△APM+S△AQM|y1﹣y2|
,令m∈(0,1),則S,
當(dāng)直線PQ的斜率不存在時,由(2)|PQ|,可得S.
綜上可得:當(dāng)PQ⊥x軸時,三角形APQ的面積S取得最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】雙曲線經(jīng)過點(diǎn),兩條漸近線的夾角為,直線交雙曲線于、.
(1)求雙曲線的方程;
(2)若過原點(diǎn),為雙曲線上異于、的一點(diǎn),且直線、的斜率為、,證明:為定值;
(3)若過雙曲線的右焦點(diǎn),是否存在軸上的點(diǎn),使得直線繞點(diǎn)無論怎樣轉(zhuǎn)動,都有成立?若存在,求出的坐標(biāo),若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直三棱柱的底面是邊長為2的正三角形,,分別是,的中點(diǎn).
(1)證明:平面;
(2)若直線與平面所成的角為,求三棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)、、是集合,稱為有序三元組,如果集合、、滿足,且,則稱有序三元組為最小相交(其中表示集合中的元素個數(shù)),如集合,,就是最小相交有序三元組,則由集合的子集構(gòu)成的最小相交有序三元組的個數(shù)是________
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩位同學(xué)玩游戲,對于給定的實(shí)數(shù),按下列方法操作一次產(chǎn)生一個新的實(shí)數(shù):由甲、乙同時各擲一枚均勻的硬幣,如果出現(xiàn)兩個正面朝上或兩個反面朝上,則把乘以2后再減去12,;如果出現(xiàn)一個正面朝上,一個反面朝上,則把除以2后再加上12,這樣就得到一個新的實(shí)數(shù),對實(shí)數(shù)仍按上述方法進(jìn)行一次操作,又得到一個新的實(shí)數(shù),當(dāng)時,甲獲勝,否則乙獲勝,若甲獲勝的概率為,則的取值范圍是________
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了響應(yīng)國家號召,某校組織部分學(xué)生參與了“垃圾分類,從我做起”的知識問卷作答,并將學(xué)生的作答結(jié)果分為“合格”與“不合格”兩類與“問卷的結(jié)果”有關(guān)?
不合格 | 合格 | |
男生 | 14 | 16 |
女生 | 10 | 20 |
(1)是否有90%以上的把握認(rèn)為“性別”與“問卷的結(jié)果”有關(guān)?
(2)在成績合格的學(xué)生中,利用性別進(jìn)行分層抽樣,共選取9人進(jìn)行座談,再從這9人中隨機(jī)抽取5人發(fā)送獎品,記拿到獎品的男生人數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.
附:
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
2.703 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中.
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若,記函數(shù)的兩個極值點(diǎn)為,(其中),當(dāng)的最大值為時,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知曲線(為常數(shù)).
(i)給出下列結(jié)論:
①曲線為中心對稱圖形;
②曲線為軸對稱圖形;
③當(dāng)時,若點(diǎn)在曲線上,則或.
其中,所有正確結(jié)論的序號是_________.
(ii)當(dāng)時,若曲線所圍成的區(qū)域的面積小于,則的值可以是_________.(寫出一個即可)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某環(huán)境保護(hù)部門對某處的環(huán)境狀況用“污染指數(shù)”來監(jiān)測,據(jù)測定,該處的“污染指數(shù)”與附近污染源的強(qiáng)度和距離之比成正比,比例系數(shù)為常數(shù),現(xiàn)已知相距的兩家化工廠(污染源)的污染強(qiáng)度分別為1和,它們連線段上任意一點(diǎn)處的污染指數(shù)等于兩化工廠對該處的污染指數(shù)之和,設(shè);
(1)試將表示為的函數(shù),指出其定義域;
(2)當(dāng)時,處的“污染指數(shù)”最小,試求化工廠的污染強(qiáng)度的值;
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