Question

已知a，b，c分別是△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，

2b-c

a

=

cosC

cosA

（1）求A的大小；
（2）當(dāng)a=

3

時(shí)，求b²+c²的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）已知等式利用正弦定理化簡(jiǎn)，整理后求出cosA的值，即可確定出A得度數(shù)；
（2）利用正弦定理列出關(guān)系式，表示出b與c，代入所求式子，整理后利用正弦函數(shù)的值域即可確定出范圍．

解答：解：（1）△ABC中，

2b-c

a

=

cosC

cosA

，由正弦定理變形得：

2sinB-sinC

sinA

=

cosC

cosA

，
即2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA，
整理得：2sinBcosA=sin（A+C）=sinB，
∵sinB≠0，∴cosA=

1

2

，
則A=

π

3

；
（2）由正弦定理及a=

3

，sinA=

3

2

得

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=

3

3 2

=2，
得：b=2sinB，c=2sinC，
則b²+c²=4sin²B+4sin²C
=2（1-cos2B+1-cos2C）
=2[2-cos2B-cos2（120°-B）]
=2[2-cos2B-cos（240°-2B）]
=2（2-

1

2

cos2B+

3

2

sinB）
=4+2sin（2B-30°），
∵0＜B＜120°，即-30°＜2B-30°＜210°，
∴-

1

2

＜sin（2B-30°）≤1，
則3＜b²+c²≤6．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的定義域與值域，熟練掌握正弦定理是解本題的關(guān)鍵．