Question

將3k（k為正整數(shù)）個(gè)石子分成五堆。如果通過(guò)每次從其中3堆中各取走一個(gè)石子，而最后取完，則稱這樣的分法是“和諧的”。試給出和諧分法的充分必要條件，并加以證明。

Answer 1

證明略

分法是和諧的 充分必要條件 是 最多一堆石子的個(gè)數(shù)不超過(guò)k。 
下面設(shè)五堆石子的個(gè)數(shù)分別為a,b,c,d,e（其中）。
“必要性”的證明： 若分法是和諧的，則把a所對(duì)應(yīng)的石子取完至少要取a次，這a次每次都要取走3個(gè)石子。如果 ，則，即把a所對(duì)應(yīng)的一堆取完時(shí)，需取走的石子多于五堆石子的總數(shù)。矛盾。因此最多一堆石子的個(gè)數(shù)不能超過(guò)k。
“充分性”的證明：（數(shù)學(xué)歸納法）
（1）  當(dāng)時(shí)，滿足“” 的分法只能是1，1，1，0，0。顯然這樣的分法是和諧的。
（2）  假設(shè)時(shí)，滿足“” 的分法是和諧的。
（3）  當(dāng)時(shí)，若，且分法a,b,c,d,e是不和諧的，則分法a－1,b－1,c－1, d, e也是不和諧的。由（2）及必要性的證明，可知
。
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823124949426494.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以。
若，則有 。這與 矛盾。
若，則有 ，從而有，于是有
，這是不可能的。矛盾。
因此當(dāng)時(shí)，分法a,b,c,d,e是和諧的。