Question

已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，橢圓上的點(diǎn)滿(mǎn)足，且的面積．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）是否存在直線(xiàn)，使與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，且線(xiàn)段恰被直線(xiàn)平分？若存在，求出的斜率取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（I）橢圓的方程為.（Ⅱ）存在滿(mǎn)足題設(shè)條件的直線(xiàn)，且的斜率取值范圍是
.

試題分析：（Ⅰ）由題意知：.，且，由此可求得，，二者相加即得，從而得橢圓的方程. （Ⅱ）假設(shè)這樣的直線(xiàn)存在，且直線(xiàn)的方程為，設(shè)與橢圓的兩交點(diǎn)為、，若線(xiàn)段恰被直線(xiàn)平分，則.這顯然用韋達(dá)定理.由得．
由得．再用韋達(dá)定理得，代入得，再將此式代入得一只含的不等式，解此不等式即得的取值范圍.
試題解析：（Ⅰ）由題意知：，                       （1分）
橢圓上的點(diǎn)滿(mǎn)足，且，
．
，．
．                           （2分）
又．                          （3分）
橢圓的方程為．                           （4分）
（Ⅱ）假設(shè)這樣的直線(xiàn)存在．與直線(xiàn)相交，直線(xiàn)的斜率存在.
設(shè)的方程為，                               （5分）
由得．（*）     （6分）
直線(xiàn)與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，
（*）的判別式，即．①  （7分）
設(shè)、，則．　         （8分）
被直線(xiàn)平分，可知，
，． ②　　　         （9分）
把②代入①，得，即．     （10分）
，．                                  （11分）
或．即存在滿(mǎn)足題設(shè)條件的直線(xiàn)，且的斜率取值范圍是
．                               （12分）