【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,上頂點(diǎn)為M,過點(diǎn)M且斜率為的直線與交于另一點(diǎn)N,過原點(diǎn)的直線l交于P,Q兩點(diǎn)

1)求周長的最小值:

2)是否存在這樣的直線,使得與直線平行的弦的中點(diǎn)都在該直線上?若存在,求出該直線的方程:若不存在,請說明理由.

3)直線l與線段相交,且四邊形的面積,求直線l的斜率k的取值范圍.

【答案】110;(2)存在滿足條件的直線,其方程為;(3.

【解析】

1)根據(jù)橢圓的對稱性和橢圓的定義,可知當(dāng)弦的長度最小值時,的周長取得最小值;

2)設(shè)與直線平行的弦所在的直線方程為,將其代入曲線的方程,根據(jù)韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得中點(diǎn)坐標(biāo),消去參數(shù)可得結(jié)果;

3)設(shè)直線l的方程為,代入曲線,解得兩個交點(diǎn)坐標(biāo),聯(lián)立直線與曲線的方程,解得的坐標(biāo),求出點(diǎn)到直線的距離,然后求出四邊形的面積,根據(jù)解不等式可得結(jié)果.

1)連接,又直線l過原點(diǎn),由橢圓的對稱性得,

的周長,

要使得的周長最小,即過原點(diǎn)的弦最短,

由橢圓的性質(zhì)可知,當(dāng)弦的短軸重合時最短,即弦的最小值為4

周長的最小值為10.

2)依題意,設(shè)與直線平行的弦所在的直線方程為,與的交點(diǎn)坐標(biāo)為,,

平行弦中點(diǎn)的坐標(biāo)為

聯(lián)立,化簡整理得,

當(dāng)

時,平行弦存在,

,,則,

故存在滿足條件的直線,其方程為.

3)設(shè)直線l的方程為,點(diǎn),.(不妨設(shè)),

消去并化簡得,即,,

依題意,直線的方程為

,得,解得,

所以,,所以,,

.

l與線段有交點(diǎn)且為四邊形,所以,即,

點(diǎn)PQ到直線的距離分別為,

,

,即.

化簡整理得,,解得,

,所以.

則所求的直線l的斜率k的取值范圍為.

練習(xí)冊系列答案
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1

2

3

4

5

6

7

8

身高(cm

163

164

165

168

170

172

176

182

體重(kg

54

60

77

72

68

72

55

BMI(近似值)

20.3

22.3

28.3

25.5

23.5

23.7

23.2

16.6

1)現(xiàn)從這8名員工中選取3人進(jìn)行復(fù)檢,記抽取到BMI值為正常員工的人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.

2)研究機(jī)構(gòu)分析發(fā)現(xiàn)公司員工的身高cm)和體重kg)之間有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系,在編號為6的體檢數(shù)據(jù)丟失之前調(diào)查員甲已進(jìn)行相關(guān)的數(shù)據(jù)分析,并計(jì)算得出該組數(shù)據(jù)的線性回歸方程為,且根據(jù)回歸方程預(yù)估一名身高為180cm的員工體重為71kg,計(jì)算得到的其它數(shù)據(jù)如下:.

①求的值及表格中8名員工體重的平均值.

②在數(shù)據(jù)處理時,調(diào)查員乙發(fā)現(xiàn)編號為8的員工體重?cái)?shù)據(jù)有誤,應(yīng)為63kg,身高數(shù)據(jù)無誤,請你根據(jù)調(diào)查員乙更正的數(shù)據(jù)重新計(jì)算線性回歸方程,并據(jù)此預(yù)估一名身高為180cm的員工的體重.

附:對于一組數(shù)據(jù),,,,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為: ,.

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2)設(shè)兩個極值點(diǎn)分別為:,,證:.

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