Question

(20) (本題滿分14分) 已知正四棱錐P－ABCD中，底面是邊長為2 的正方形，高為．M為線段PC的中點(diǎn)．

(Ⅰ) 求證：PA∥平面MDB；
(Ⅱ) N為AP的中點(diǎn)，求CN與平面MBD所成角的正切值．

Answer 1

(Ⅰ)見解析；(Ⅱ)2.

試題分析：(Ⅰ)證明：在四棱錐P－ABCD中，連結(jié)AC交BD于點(diǎn)O，連結(jié)OM，因?yàn)樵凇鱌AC中，M為PC的中點(diǎn)，O為AC的中點(diǎn)，所以O(shè)M為△PAC的中位線，得OM∥AP，又因?yàn)锳P平面MDB，OM平面MDB，所以PA∥平面MDB． …………6分

(Ⅱ) 解：連結(jié)PO．由條件可得PO＝，AC＝2，
PA＝PC＝2，CO＝AO＝．
設(shè)NC∩MO＝E，由題意得BP＝BC＝2，且∠CPN＝90°．
因?yàn)镸為PC的中點(diǎn)，所以PC⊥BM，
同理PC⊥DM，故PC⊥平面BMD．
所以直線CN在平面BMD內(nèi)的射影為直線OM，
∠MEC為直線CN與平面BMD所成的角，
又因?yàn)镺M∥PA，所以∠PNC＝∠MEC．
在Rt△CPN中，CP＝2，NP＝1，所以tan∠PNC＝，
故直線 CN與平面BMD所成角的正切值為2．        …………14分
利用體積法相應(yīng)給分
點(diǎn)評：熟練掌握線面平行的判定定理和性質(zhì)定理以及線面角等知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．利用三角形的中位線定理是證明線線平行常用的方法之一．