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已知F1，F(xiàn)2為橢圓x2+
y2
2
=1上的兩個焦點，A，B是過焦點F1的一條動弦，則△ABF2的面積的最大值為（　�。�
A．
2
2
B．
2
C．1D．2
2
∵橢圓x2+
y2
2
=1，
∴F1（0，1），F(xiàn)2（0，-1），
設A（x1，y1），B（x2，y2），AB方程為y=kx+1，
代入橢圓方程，整理可得（2+k2）x2+2kx-1=0，
∴x1+x2=
-2k
2+k2
，x1x2=-
1
2+k2
，
∴△ABF2的面積為S=
1
2
|F1F2||x1-x2|=
(
-2k
2+k2
)2+
4
2+k2
=
8(k2+1)
(2+k2)2
，
令t=k2+1（t≥1），則S=
8t
(t+1)2
=
8
(
1
t
+
1
t2
)2
≤
2
，當且僅當t=1，即k=0時取等號，
∴△ABF2的面積的最大值為
2
．
故選B．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

矩形ABCD的中心在坐標原點，邊AB與x軸平行，AB=8，BC=6．E，F(xiàn)，G，H分別是矩形四條邊的中點，R，S，T是線段OF的四等分點，R′，S′，T′是線段CF的四等分點．設直線ER與GR′，ES與GS′，ET與GT′的交點依次為L，M，N．
（1）求以HF為長軸，以EG為短軸的橢圓Q的方程；
（2）根據條件可判定點L，M，N都在（1）中的橢圓Q上，請以點L為例，給出證明（即證明點L在橢圓Q上）．
（3）設線段OF的n（n∈N+，n≥2）等分點從左向右依次為Ri（i=1，2，…，n-1），線段CF的n等分點從上向下依次為Ti（i=1，2，…，n-1），那么直線ERi（i=1，2，…，n-1）與哪條直線的交點一定在橢圓Q上？（寫出結果即可，此問不要求證明）

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

設雙曲線C的焦點在y軸上，離心率為
2
，其一個頂點的坐標是（0，1）．
（Ⅰ）求雙曲線C的標準方程；
（Ⅱ）若直線l與該雙曲線交于A、B兩點，且A、B的中點為（2，3），求直線l的方程．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知A（-3，0），B、C兩點分別在y軸和x軸上運動，并且滿足
AB
•
BQ
=0，
BC
=
1
2
CQ
．
（1）求動點Q的軌跡方程；
（2）設過點A的直線與Q的軌跡交于E、F兩點，A′（3，0），求直線A′E、A′F的斜率之和．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知直角坐標平面內點A（x，y）到點F1（-1，0）與點F2（1，0）的距離之和為4．
（1）試求點A的軌跡M的方程；
（2）若斜率為
1
2
的直線l與軌跡M交于C、D兩點，點P(1，
3
2
)為軌跡M上一點，記直線PC的斜率為k1，直線PD的斜率為k2，試問：k1+k2是否為定值？請證明你的結論．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1的兩條漸近線為
l1，l2，過橢圓C的右焦點F作直線l，使l⊥l1，又l與l2交于P，設l與橢圓C的兩個交點由上至下依次為A、B（如圖）．
（1）當l1與l2的夾角為60°，且△POF的面積為
3
2
時，求橢圓C的方程；
（2）當
FA
=λ
AP
時，求當λ取到最大值時橢圓的離心率．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

設橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦點為F，上頂點為A，過點A與AF垂直的直線分別交橢圓C與x軸正半軸于點P、Q，且
AP
=
8
5
PQ
．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）若過A、Q、F三點的圓恰好與直線l：x+
3
y+3=0相切，求橢圓C的方程．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C的中心在原點，一個焦點為F(0，
2
)，且長軸長與短軸長的比為
2
：1．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若橢圓C上在第一象限內的一點P的橫坐標為1，過點P作傾斜角互補的兩條不同的直線PA，PB分別交橢圓C于另外兩點A，B．求證：直線AB的斜率為定值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知O為坐標原點，F(xiàn)為橢圓C：x2+
y2
2
=1在y軸正半軸上的焦點，過F且斜率為-
2
的直線l與C交于A、B兩點，點P滿足
OA
+
OB
+
OP
=
0
．
（Ⅰ）證明：點P在C上；
（Ⅱ）設點P關于點O的對稱點為Q，證明：A、P、B、Q四點在同一圓上．

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